Disuguaglianza n.9 TF 2015

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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alegh
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Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da alegh » 16 mag 2016, 18:14

Ho provato a risolvere la disuguaglianza proposta nel test finale del senior dell'anno scorso dopo aver letto la dispensa sulla disuguaglianza di bunching. Questa disuguaglianza presenta (o almeno credo presenti) termini omogenei di grado zero ed è una somma ciclica che credo si possa rendere facilmente simmetrica dal momento che a secondo membro si ha $0$. Tuttavia ho alcuni problemi con l'ultimo passaggio. Riporto quindi ciò che ho fatto.
\[
\dfrac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)}+\dfrac{b-\sqrt{ca}}{b+2(c+a)}+\dfrac{c-\sqrt{ab}}{c+2(a+b)}\geq 0
\]
Ho fatto il minimo comune denominatore e poi riscritto tutto come
\[
\sum_{cyc}(a-\sqrt{bc})(b+2(c+a))(c+2(a+b))\geq 0
\]
essendo per ipotesi $a,b,c>0$, ho posto $a=x^{2}$, $b=y^{2}$, $c=z^{2}$ e ho moltiplicato per 2 in modo da ottenere una somma simmetrica (giusto?) nelle variabili $x,y,z$.
\[
\sum_{sym}(x^{2}-yz)(2x+y+2z)(2x+2y+z)\geq 0
\]
Svolgo quindi i calcoli ed ottengo
\[
\sum_{sym}4x^{6}+2x^{2}y^{4}+2x^{2}z^{4}+6x^{4}y^{2}+6x^{4}z^{2}+5x^{2}y^{2}z^{2}-4x^{4}yz-2y^{5}z-2yz^{5}-6x^{2}y^{3}z-6x^{2}yz^{3}-5y^{3}z^{3}\geq 0
\]
Quindi ponendo $S(a,b,c)=\sum_{sym}x^{a}y^{b}z^{c}$ ho
\[
4S(6,0,0)+16S(4,2,0)+5(2,2,2)\geq 4S(4,1,1)+4S(5,1,0)+12S(3,2,1)+5(3,3,0)
\]
Quest''ultima disuguaglianza non riesco a risolverla usando bunching e schur. Come potrei fare?
Inoltre avevo anche pensato di cambiare approccio: io so per per $AM\geq GM$ che $\sqrt{bc}\leq \dfrac{b+c}{2}$ e quindi che $a-\sqrt{bc}\geq a-\dfrac{b+c}{2}$ ma non riuscendo ad andare oltre avevo guardato la soluzione: si propone di dimostrare la disuguaglianza sostituendo $GM$ con $AM$. In questo caso non succede, ma non potrei aver che la disuguaglianza sia vera con $GM$ ma falsa per $AM$? In questo caso dovrei solo controllare il caso limite $AM=GM$ in cui $GM$ è perciò massima? Grazie per ogni aiuto, spero di essere stato abbastanza chiaro nelle mie domande.

darkcrystal
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Re: Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da darkcrystal » 22 mag 2016, 18:18

alegh ha scritto: [...] che credo si possa rendere facilmente simmetrica dal momento che a secondo membro si ha $0$.
Questa affermazione è già sospetta, dal momento che ogni disuguaglianza $A \geq B$ è chiaramente equivalente ad una disuguaglianza che ha 0 al secondo membro ($A-B \geq 0$).
alegh ha scritto: Ho fatto il minimo comune denominatore e poi riscritto tutto come
\[
\sum_{cyc}(a-\sqrt{bc})(b+2(c+a))(c+2(a+b))\geq 0
\]
essendo per ipotesi $a,b,c>0$, ho posto $a=x^{2}$, $b=y^{2}$, $c=z^{2}$ e ho moltiplicato per 2 in modo da ottenere una somma simmetrica (giusto?) nelle variabili $x,y,z$.
\[
\sum_{sym}(x^{2}-yz)(2x+y+2z)(2x+2y+z)\geq 0
\]
Argh! No, questa storia del moltiplicare per due purtroppo non funziona. Ti ricordo velocemente cos'è una somma ciclica e cos'è una somma simmetrica. Visto che fiumi d'inchiostro elettronico sono già stati scritti sull'argomento (vedi per esempio viewtopic.php?f=26&t=19889), facciamo solo un esempio. Supponi di avere un monomio - prendiamo per esempio $x^3y^2z$; la somma ciclica di questo monomio è la somma di tutti i monomi che puoi ottenere da lui permutando ciclicamente le variabili. Concretamente, considera la permutazione che manda $x$ in $y$ e $y$ in $z$. Se applichi questa permutazione al tuo monomio ottieni $y^3z^2x$. Se la applichi di nuovo, $z^3x^2y$. Se la applichi ancora torni a $x^3y^2z$, per cui abbiamo finito; la somma ciclica di $x^3y^2z$ è allora $x^3y^2z+y^3z^2x+z^3z^2y$. La somma simmetrica è invece quella che si ottiene cambiando nomi alle variabili in tutti i modi possibili: elenchiamo questi modi! Vedrai facilmente che i $6=3!$ modi possibili sono i seguenti:
  • $x^3y^2z$ (corrispondente alla permutazione "non fare niente")
  • $y^3x^2z$ (corrispondente alla trasposizione "$x$ si scambia con $y$")
  • $z^3y^2x$ (corrispondente alla trasposizione "$x$ si scambia con $z$")
  • $x^3z^2y$ (corrispondente alla trasposizione "$y$ si scambia con $z$")
  • $y^3z^2x$ (corrispondente al ciclo $x \to y \to z$)
  • $z^3x^2y$ (corrispondente al ciclo $x \to z \to y$)
La somma $\sum_{sym} x^3y^2z$ è allora $x^3y^2z+y^3x^2z+z^3y^2x+x^3z^2x+y^3z^2x+z^3x^2y$, che come vedi non è affatto il doppio della somma ciclica corrispondente (certo, ci può essere uguaglianza per alcuni valori speciali di $x,y,z$, ma qui stiamo parlando di identità algebriche, che devono essere valide per tutti i valori delle variabili). Quindi non puoi ridurti ad una somma simmetrica in quel modo, almeno non in questo caso. Tuttavia osserva che per esempio l'uguaglianza $\sum_{sym} x^3 = 2 \sum_{cyc} x^3$ è vera: vedi perché?

alegh ha scritto: Inoltre avevo anche pensato di cambiare approccio: io so per per $AM\geq GM$ che $\sqrt{bc}\leq \dfrac{b+c}{2}$ e quindi che $a-\sqrt{bc}\geq a-\dfrac{b+c}{2}$ ma non riuscendo ad andare oltre avevo guardato la soluzione: si propone di dimostrare la disuguaglianza sostituendo $GM$ con $AM$. In questo caso non succede, ma non potrei aver che la disuguaglianza sia vera con $GM$ ma falsa per $AM$?
Certamente sì, può capitare! Quello che stai facendo nel sostituire GM con AM è dire "Mah, questa specifica disuguaglianza non la so dimostrare, vediamo se per caso ne so fare una che è più forte (nel senso matematico di implica la disuguaglianza di partenza) ma magari, per qualche motivo, ha una forma più semplice (per esempio qui sostituire GM con AM ci permette di sbarazzarci delle radici quadrate)". Ma hai perfettamente ragione nel dire che le cose possono andare male, e la nuova disuguaglianza può benissimo essere falsa. Semplicemente, tu stai cercando di dimostrare un'affermazione $A$ (la disuguaglianza iniziale). C'è una certa affermazione $B$ (la disuguaglianza in cui GM è sostituita da AM) per la quale chiaramente si ha che $B \Rightarrow A$ (B implica A): se per caso riesci a dimostrare B hai vinto, ma potrebbe certamente succedere che B è falsa anche se A è vera.
alegh ha scritto: In questo caso dovrei solo controllare il caso limite $AM=GM$ in cui $GM$ è perciò massima?
No: adesso hai una nuova disuguaglianza, e quello che sai è che se la tua nuova disuguaglianza è vera per tutti i valori delle variabili, allora la disuguaglianza originale è vera per tutti i valori della variabili. Ma adesso la nuova disuguaglianza va dimostrata per tutti i valori delle variabili, altrimenti non andiamo da nessuna parte.
Se sapessi che basta controllare il caso in cui $AM=GM$ avresti finito, perché questo succede solo quando le tre variabili sono uguali e la disuguaglianza è banale (ma sarebbe una tecnica un po' troppo potente per fare disuguaglianze, non trovi? ;) Sostanzialmente staresti dicendo che, presa una disuguaglianza quasi qualunque, ti basta verificarne una leggermente diversa nel caso speciale in cui le tre variabili siano tutte uguali...)
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alegh
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Re: Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da alegh » 24 mag 2016, 18:04

Prima di tutto grazie per avermi risposto.
darkcrystal ha scritto:
alegh ha scritto: [...] che credo si possa rendere facilmente simmetrica dal momento che a secondo membro si ha $0$.
Questa affermazione è già sospetta, dal momento che ogni disuguaglianza $A≥B$ è chiaramente equivalente ad una disuguaglianza che ha 0 al secondo membro ($A−B≥0$).
Mi sono espresso male: quello che intendevo è che la disuguaglianza del test finale credo possa essere riscritta come
\[
\sum_{cyc}\dfrac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)}\geq 0
\]
avendo quindi "un solo tipo di somma", mentre ad esempio la disuguaglianza del post di scambret citato
\[
\dfrac{2a}{a^{2}+bc}+\dfrac{2b}{b^{2}+ca}+\dfrac{2c}{c^{2}+ab}\leq \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}
\]
la riscriverei come
\[
\sum_{cyc}\dfrac{2a}{a^{2}+bc}\leq \sum_{cyc}\dfrac{a}{bc}
\]
avendo quindi una situazione più complicata.

Per rendere la somma ciclica del TF simmetrica come potrei fare? Il mio dubbio deriva da ciò che ho letto nel post citato prima: sempre considerando la disuguaglianza che ho riscritto viene fatto il comune denominatore
\[
(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)abc
\]
e quindi viene detto
$LHS=2a\cdot abc(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)$+ stessa cosa per b e c, cambiando le variabili=$\sum_{sym} a^{2}bc(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)$
Quindi nel caso della disuguaglianza del TF, essendo comunque sbagliato moltiplicare per 2, ottengo comunque una disuguaglianza simmetrica facendo il minimo comun denominatore? Altrimenti cosa varia tra le due disuguaglianza?
Grazie ancora.
P.S. chiedo scusa se sto scrivendo una marea di cavolate ma sto cercando di imparare :roll:

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Re: Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da darkcrystal » 29 mag 2016, 16:21

Ops, questo post sarà particolarmente imbarazzante... bhè, me la sono andata a cercare e ora devo rimediare :).
alegh ha scritto:Prima di tutto grazie per avermi risposto.
darkcrystal ha scritto:
alegh ha scritto: [...] che credo si possa rendere facilmente simmetrica dal momento che a secondo membro si ha $0$.
Questa affermazione è già sospetta, dal momento che ogni disuguaglianza $A≥B$ è chiaramente equivalente ad una disuguaglianza che ha 0 al secondo membro ($A−B≥0$).
Mi sono espresso male: quello che intendevo è che la disuguaglianza del test finale credo possa essere riscritta come
\[
\sum_{cyc}\dfrac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)}\geq 0
\]
avendo quindi "un solo tipo di somma", mentre ad esempio la disuguaglianza del post di scambret citato
\[
\dfrac{2a}{a^{2}+bc}+\dfrac{2b}{b^{2}+ca}+\dfrac{2c}{c^{2}+ab}\leq \dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}
\]
la riscriverei come
\[
\sum_{cyc}\dfrac{2a}{a^{2}+bc}\leq \sum_{cyc}\dfrac{a}{bc}
\]
avendo quindi una situazione più complicata.
Vediamo se riesco a chiarire quello che volevo dire con un esempio: la disuguaglianza di scambret si riscrive anche come
\[
\begin{aligned}
\sum_{cyc}\dfrac{2a}{a^{2}+bc}\leq \sum_{cyc}\dfrac{a}{bc} & \Longleftrightarrow \sum_{cyc}\dfrac{2a}{a^{2}+bc} - \dfrac{a}{bc} \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow \sum_{cyc}\dfrac{2abc}{(a^{2}+bc)bc} - \dfrac{a(a^{2}+bc)}{(a^{2}+bc)bc} \leq 0 \\
& \Longleftrightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a(bc-a^2)}{(a^{2}+bc)bc} \leq 0,
\end{aligned}
\]
che è "un solo tipo di somma"; e chiaramente puoi sempre fare una riduzione di questo tipo, se prendi il minimo comune denominatore. Quindi questa storia di essere "una sola somma" non è un buon criterio... in ogni caso, la proprietà di essere ciclica o simmetrica non ha niente a che fare con quanto la disuguaglianza è complicata, né con come è scritta: vedi qui sotto.
alegh ha scritto: Per rendere la somma ciclica del TF simmetrica come potrei fare?
Ho detto una sciocchezza io: la somma in questione è simmetrica, semplicemente l'altro giorno mi sono sbagliato :oops:. Aggiungo dettagli.
alegh ha scritto: Il mio dubbio deriva da ciò che ho letto nel post citato prima: sempre considerando la disuguaglianza che ho riscritto viene fatto il comune denominatore
\[
(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)abc
\]
e quindi viene detto
$LHS=2a\cdot abc(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)$+ stessa cosa per b e c, cambiando le variabili=$\sum_{sym} a^{2}bc(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)$
Quindi nel caso della disuguaglianza del TF, essendo comunque sbagliato moltiplicare per 2, ottengo comunque una disuguaglianza simmetrica facendo il minimo comun denominatore? Altrimenti cosa varia tra le due disuguaglianza?
Ehm, sì, la tua manipolazione in realtà era corretta. Vediamo perché. La disuguaglianza del TF è
\[
\dfrac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)} + \dfrac{b-\sqrt{ca}}{b+2(c+a)} + \dfrac{c-\sqrt{ab}}{c+2(a+b)}\geq 0;
\]
Proviamo cosa succede se scambiamo $b$ con $c$. Il primo termine della somma non cambia, e gli altri due diventano
\[
\dfrac{c-\sqrt{ba}}{c+2(b+a)} + \dfrac{b-\sqrt{ac}}{b+2(a+c)},
\]
che sono esattamente gli stessi due termini di sopra, semplicemente scambiati. Stessa cosa accade per qualunque altra trasposizione. Quindi, in effetti, qualunque permutazione delle variabili io applichi ritrovo la stessa disuguaglianza, che è esattamente il caso in cui diciamo che la disuguaglianza è simmetrica (ma vorrei insistere su una cosa: questa è una proprietà della disuguaglianza, che è o vera o falsa fin dall'inizio, e non dipende dalle tue manipolazioni algebriche... comunque tu riscriva una cosa simmetrica resta simmetrica!). Ora vediamo una cosa leggermente più generale (perché è più breve da scrivere...). Supponiamo di avere una disuguaglianza $\sum_{cyc} f(a,b,c) \geq 0$, dove $f(a,b,c)$ è un'espressione algebrica in $a,b,c$ (per te $f(a,b,c)=\frac{a-\sqrt{bc}}{a+2(b+c)}$). Per definizione, il membro sinistro è la somma $f(a,b,c) + f(b,c,a) + f(c,a,b)$. La corrispondente somma simmetrica è $f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,c,a) + f(b,a,c) + f(c,a,b) + f(c,b,a)$. Ora quello che stai dicendo tu è: $2 \sum_{cyc} f(a,b,c) = \sum_{sym} f(a,b,c)$. Quand'è che questo è vero? Solo se
\[
2(f(a,b,c) + f(b,c,a) + f(c,a,b)) = f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,c,a) + f(b,a,c) + f(c,a,b) + f(c,b,a),
\]
cioè se e solo se
\[
f(a,b,c) + f(b,c,a) + f(c,a,b) = f(a,c,b) + f(b,a,c) + f(c,b,a). \quad (\ast)
\]
Una condizione sufficiente è allora $f(a,b,c)=f(a,c,b)$, cioè che $f(a,b,c)$ non cambi se scambiamo due delle variabili (in effetti in quel caso abbiamo che l'uguaglianza $(\ast)$ è vera termine a termine, cioè $f(a,b,c)=f(a,c,b)$ e quindi, ciclando le variabili, abbiamo anche $f(b,c,a)=f(b,a,c)$ e $f(c,a,b)=f(c,b,a)$). Nel tuo caso,
\[
f(a,c,b) = \frac{a-\sqrt{cb}}{a+2(c+b)} = f(a,b,c)
\]
e quindi l'uguaglianza $2 \sum_{cyc} \frac{a-\sqrt{cb}}{a+2(c+b)} = \sum_{sym} \frac{a-\sqrt{cb}}{a+2(c+b)}$ è vera; prendendo il minimo comune denominatore troviamo la disuguaglianza che hai scritto tu. Purtroppo però qui mi fermo: siccome mi ero convinto (chissà perché...) che la tua disuguaglianza non fosse equivalente a quella di partenza non ho provato a risolverla, e mi sono accorto del mio errore solo cinque minuti fa scrivendo questo post. Se per caso trovo una soluzione partendo dalla tua espressione ti faccio sapere :). In ogni caso, la soluzione che inizia sostituendo $\sqrt{bc}$ con $\frac{b+c}{2}$ sarà probabilmente più semplice...
alegh ha scritto: P.S. chiedo scusa se sto scrivendo una marea di cavolate ma sto cercando di imparare :roll:
Non c'è niente di cui scusarsi! In più come vedi quello che scrive cavolate non sei tu...
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Re: Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da darkcrystal » 29 mag 2016, 16:28

Beh, se non altro la disuguaglianza finale è facile. Osserviamo che per AM-GM si ha
\[
x^4y^2 + x^2y^2z^2 \geq 2 \sqrt{x^4y^2x^2y^2z^2}=2x^3y^2z
\]
e quindi $\sum_{sym} x^4y^2 + \sum_{sym} x^2y^2z^2 \geq 2 \sum_{sym} x^3y^2z$, o, nella notazione sintetica, $(4,2,0)+(2,2,2) \geq 2 (3,2,1)$, da cui $5(4,2,0) + 5(2,2,2) \geq 10(3,2,1)$.
D'altro canto per bunching abbiamo anche $11(4,2,0) \geq 4(4,1,1) + 2(3,2,1) + 5(3,3,0)$ (ognuna delle 11 somme a sinistra batte ognuna delle 11 somme a destra) e $4(6,0,0) \geq 4(5,1,0)$; sommando tutto troviamo
\[
4(6,0,0) + 11(4,2,0) + 5(4,2,0) + 5(2,2,2) \geq 4(5,1,0) + 4(4,1,1) + 2(3,2,1) + 5(3,3,0) + 10(3,2,1)
\]
che è quello che volevamo.
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Re: Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da ghilu » 05 giu 2016, 19:36

Approfitto del fatto che la disuguaglianza in questione è stata abbondantemente sbranata dai post precedenti, per fare qualche analisi post-mortem. In particolare, sperando di illuminare chi sta imparando, cercherò di rafforzare ulteriormente, a suon di euristica, il claim di darkcrystal
darkcrystal ha scritto:... se non altro la disuguaglianza finale è facile.
A me piace pensare alle disuguaglianze risolte con contazzi e somme simmetriche, come ad una battaglia fra eserciti. $ LHS $ contro $ RHS $. Quando tutti i preparativi sono finiti, le due squadre hanno messo in campo ognuna 25 unità. Il membro di destra ha schierato 4 combattenti molto forti (5,1,0), 9 combattenti abbastanza abili, di cui 4 sono (4,1,1) e 5 sono (3,3,0) e 12 soldati di basso rango (3,2,1):
\[RHS=4(5,1,0)+4(4,1,1)+5(3,3,0)+ 12(3,2,1).\]
Invece il membro di sinistra ha ben 20 unità molto forti dalla sua parte, di cui 4 generali potentissimi (6,0,0) al comando di 16 unità d'elite (4,2,0). Sfortunatamente si è anche ritrovato 5 scarsoni (2,2,2) nei propri ranghi.
\[LHS=4(6,0,0)+16(4,2,0)+5(2,2,2).\]

Il combattimento può svolgersi in vari modi, con tattiche più o meno raffinate (ed un problema è più o meno difficile a seconda che richieda strategie più o meno evolute), ma classicamente la guerra consiste di combattimenti diretti corpo a corpo (bunching), attacchi coordinati di base (AM-GM) e attacchi coordinati speciali (Schur o altro). In ogni caso uno scontro corretto prevede N unità contro N unità.

La teoria del bunching permette di stabilire chi vince in uno scontro diretto. (6,0,0) vince contro chiunque, (2,2,2) perde sempre, (5,1,0) può essere battuto solo da (6,0,0), mentre uno scontro fra (3,3,0) e (4,1,1) non vedrebbe né vinti né vincitori.

La disuguaglianza di AM-GM permette di dire che due simboli, con un attacco coordinato, possono sconfiggere la propria "media". Quindi un (6,0,0) insieme ad un (4,2,0) possono battere due (5,1,0). Ovviamente la "disuguaglianza delle forze" (bunching) può applicarsi anche qui. Ad esempio (6,0,0)+(2,2,2) è abbastanza forte da battere 2(4,1,1), e in particolare non ha problemi a fronteggiare un più blando (4,1,1)+(3,2,1). Gli attacchi coordinati possono essere anche più complessi, ma è sempre la media che viene considerata, con questa tattica di base. Ad esempio (6,0,0)+2(3,2,1) potrebbe battere tre unità di (4,4/3,2/3), e in particolare sconfigge 3(4,1,1).

La disuguaglianza di Schur è più raffinata. Possiede varie versioni, ad esempio una dipendente da un parametro reale positivo $r$. Dice che $(r+2,0,0)+(r,1,1)$ può battere, con astuzia, una coppia di $(1+r,1,0)$. Solitamente viene applicata con $r=1$, per cui vale $(3,0,0)+(1,1,1)\geq 2(2,1,0)$. Con attenzione, questa disuguaglianza è 'invariante per traslazioni e omotetie'. Ovvero, moltiplicando per 2 scopriamo che $(6,0,0)+(2,2,2)$ è più forte di due $(4,2,0)$ e invece traslando in alto di 1 troviamo che $(4,1,1)+(2,2,2)$ è sufficiente per battere $2(3,2,1)$.

Detto questo penso che sia chiaro che ci sono molti modi per fare vincere il membro di sinistra (e nessuna speranza per il membro di destra). La strategia del post precedente, ad esempio, può essere raccontata come segue. La battaglia si svolge fra i seguenti due eserciti
\[4(6,0,0)+16(4,2,0)+5(2,2,2)\geq 4(5,1,0)+4(4,1,1)+5(3,3,0)+ 12(3,2,1).\]
I quattro generali di sinistra affrontano direttamente i quattro soldati più forti di destra, bunchingandoli.
\[4(6,0,0)\geq 4(5,1,0)\]
Poi i 5 scarsoni di sinistra vengono aiutati da 5 unità d'elite per fronteggiare in AM-GM 10 soldati semplici dell'avversario.
\[5(4,2,0)+5(2,2,2)\geq 10(3,2,1)\]
La restante parte dell'esercito viene facilmente messa in fuga dai nostri eroi a suon di bunching.
\[11(4,2,0)\geq 4(4,1,1)+5(3,3,0)+2(3,2,1).\]
Non si smette mai di imparare.

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Re: Disuguaglianza n.9 TF 2015

Messaggio da alegh » 05 giu 2016, 20:02

Grazie ad entrambi!

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