Somme simmetriche e Bunching

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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scambret
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Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da scambret » 19 apr 2016, 20:00

Allora, il mio è un barbaro tentativo di dire due parole riguardo alle somme simmetriche e poi usarle nella loro potenza di simmetria. Tratterò per semplicità il caso $n=3$, sebbene tutto si generalizza per $n$ qualsiasi. Siano dunque $x,y,z$ le mie variabili reali positive

Somme simmetriche
Sia $f(a,b,c)=x^ay^bz^c$ con $a, b, c$ numeri reali. Allora indichiamo con $\displaystyle S(a,b,c)= \sum_{\textrm{sym}} f(a,b,c) = f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,a,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)+f(c,b,a)$, cioè permuto in tutti i modi possibili gli esponenti tra le varie variabili.

Da ora, se scrivo $(a,b,c)$ mi riferisco a $f(a,b,c)$.

Esempi: se $(1,1,1)$ allora $S(1,1,1) = xyz+xyz+xyz+xyz+xyz+xyz=6xyz$
Se $(2,1,1)$ allora $S(2,1,1) = x^2yz+x^2yz+xy^2z+xy^2z+xyz^2+xyz^2=2x^2yz+2xy^2z+2xyz^2$

Somme simmetriche e Bunching
Siano $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ tali che $a_1 \geq b_1 \geq c_1$ e $a_2 \geq b_2 \geq c_2$. Se si sa che

$$a_1 \geq a_2$$
$$a_1+b_1 \geq a_2+b_2$$
$$a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2$$

allora $$S(a_1,b_1,c_1) \geq S(a_2,b_2,c_2)$$

Con questo teorema si dimostra che, ad esempio, $$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$$ e tutte quelle di McLaurin.

Somme simmetriche e Schur
Sia $t>0$. Allora $$S(t+2,0,0)+S(t,1,1) \geq 2S(t+1,1,0)$$

Questa disuguaglianza è la prima che uno dovrebbe usare se ha dei pezzi "forti" e dei pezzi "deboli" dalla parte del $\geq$, poichè ci sta dicendo, ad esempio, che $S(3,0,0)+S(1,1,1) \geq 2S(2,1,0)$. Senza Schur, si potrebbe dire che $S(3,0,0) \geq S(2,1,0)$, ma $(1,1,1) \leq (2,1,0)$.

Somme simmetriche e conti
Molto spesso la disuguaglianza data non è simmetrica (e in questo caso bisogna arrangiarsi, rendendola simmetrica) o non omogenea, ma spesso c'è un vincolo di omogeneità. In questo caso bisogna sfruttare il vincolo di omogeneità per rendere tutto simmetrico (parte conti), e dopo arriva la parte bunching + schur

Somme simmetriche e riscritture di disuguaglianze lunghe in piccole disuguaglianze
Solo un piccolo accenno: qualunque $S(a,b,c)$ può essere scritta in termini di $\sigma_1$, $\sigma_2$ e $\sigma_3$, dove $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$ e $\sigma_3=xyz$. Da qui si può continuare con il metodo SPQ, che però non scriverò (almeno per ora).

Finalmente mettiamo tutto assieme, esempi di disuguaglianze
Es.1

Trovare la più grande costante reale $k$ tale che per ogni $a,b,c$ reale valga

$$\sqrt{\frac{ab}{c}} + \sqrt{\frac{bc}{a}} + \sqrt{\frac{ca}{b}} \geq k\sqrt{a+b+c}$$

Prima cosa, troviamo questa costante. Se piazziamo $a=b=c=1$ ottenaimo $k \leq \sqrt{3}$. Dunque proviamo a dimostrare che $k=\sqrt{3}$ è la miglior costante.

Ora notiamo che sia la parte di sinistra che quella di destra non sono simmetriche (bisogna avere 6 termini, non 3, altrimenti la disuguaglianza si dice ciclica. (Piccola parentesi: $\sum_{\textrm{cyc}} f(a,b,c) = f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$). La parte di destra non è neanche facilmente manipolabile, dal momento che abbiamo una somma sotto radice.

Rendiamo tutto simmetrico quindi. Eleviamo al quadrato e otteniamo

$$\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + S(1,0,0) \geq \frac{3}{2} S(1,0,0)$$

Ricordatevi di dividere per due perchè $S(1,0,0)=2(x+y+z)$

Dunque bisogna dimostrare che

$$\frac{1}{2} S(1,1,-1) \geq \frac{1}{2}S(1,0,0)$$

e questo è vero per Bunching


Come si sarà intuito, la difficoltà vera sono i conti, perché una volta che si impara a maneggiare le varie somme simmetriche facendo i conti alla furba maniera, la disuguaglianza è facile

Es.2

$$\frac{2a}{a^{2}+bc}+\frac{2b}{b^{2}+ca}+\frac{2c}{c^{2}+ab}\leq\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}$$

Facciamo tutti i conti del mondo

Il minimo comun denominatore è $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)abc$. Dunque possiamo scrivere la parte sinistra della disuguaglianza (LHS) cosi

$\textrm{LHS}=2a \cdot abc (b^2+ca)(c^2+ab) + \textrm{stessa cosa per b e c, cambiando le variabili} = \sum_{\textrm{sym}} a^2bc(b^2+ca)(c^2+ab)$ = $\sum_{\textrm{sym}} a^2bc(b^2c^2+ab^3+ac^3+a^2bc) = \sum_{\textrm{sym}} a^2b^3c^3 + a^3b^4c + a^3bc^4 + a^4b^2c^2$ = $S(3,3,2) + 2S(4,3,1) + S(4,2,2)$

Ora sbobiniamo i conti del RHS (parte di destra)

$\textrm{RHS} = a(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)a + \textrm{stessa cosa per b e c, cambiando le variabili}$ = $a^2(a^2b^2c^2+a^3b^3+a^3c^3+a^4bc+b^3c^3+ab^4c+abc^4+a^2b^2c^2) + \textrm{stessa cosa per b e c, cambiando le variabili}$ = $S(4,2,2)+S(5,3,0)+S(4,3,1)+\frac{1}{2}S(6,1,1)+\frac{1}{2} S(3,3,2)$

Cosa bisogna dimostrare quindi?

$$2S(3,3,2) + 4S(4,3,1)+ 2S(4,2,2) \leq 2S(4,2,2)+2S(5,3,0)+2S(4,3,1)+S(6,1,1)+S(3,3,2)$$

oppure

$$(3,3,2)+2S(4,3,1) \leq S(6,1,1)+2S(5,3,0)$$

e questo è vero per qualunque scelta sensata di Bunching.

Es. 3 (suicidio)

$$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + \frac{1}{(z+x)^2}) \geq \frac{9}{4}$$

Questo è IL PROBLEMA con Bunching e Schur. Prima però ci sono i contazzi da fare, che rendono questo un problema maledetto.

Il minimo comun denominatore è $(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2$

Dunque fatto comun denominatore e portato a destra il denominatore si ottiene che LHS è della forma $4(xy+yz+zx)[(x+y)^2(y+z)^2+(y+z)^2(z+x)^2+(z+x)^2(x+y)^2]$. In questo caso può convenire lasciare $4(xy+yz+zx)$ e fare il conto dell'altra parentesi. Risulterà dunque che la parentesi [...] deve avere 48 termini (questo è un check classico per non sbagliare almeno il numero di termini) ed è pari a $\frac{3}{2} S(2,2,0) + \frac{1}{2} S(4,0,0) + 2S(3,1,0) + 4S(2,1,1)$. Ora bisogna moltiplicare il delirio appena trovato per $4(xy+yz+zx)$, dunque intanto moltiplichiamo per 4 per ottenere $6S(2,2,0)+2S(4,0,0)+8S(3,1,0)+16S(2,1,1)$. Ora per $(xy+yz+zx)$. Per fare il conto rapido, l'effetto del prodotto con $xy$ si trova aggiungendo $S(1,1,0)$ ai vettori interessati, cioè si ottiene $6S(3,3,0)+2S(5,1,0)+8S(4,2,0)+16S(3,2,1)$. Per l'effetto di $yz$ basta aggiungere $S(0,1,1)$, dunque si ottiene $6S(2,3,1)+2S(4,1,1)+8S(3,2,1)+16S(2,2,2)=6S(3,2,1)+2S(4,1,1)+8S(3,2,1)+16S(2,2,2)$. Per l'ultimo effetto si ottiene $6S(3,2,1)+2S(5,0,1)+8S(4,1,1)+16S(3,1,2)=6S(3,2,1)+2S(5,1,0)+8S(4,1,1)+16S(3,2,1)$.

Dunque $\textrm{LHS}=6S(3,3,0)+2S(5,1,0)+8S(4,2,0)+16S(3,2,1)+6S(3,2,1)+2S(4,1,1)+8S(3,2,1)+16S(2,2,2)+$ $+6S(3,2,1)+2S(5,1,0)+8S(4,1,1)+16S(3,2,1)=4S(5,1,0)+8S(4,2,0)+10S(4,1,1)+$ $+6S(3,3,0)+52S(3,2,1)+16S(2,2,2)$

Per il RHS bisogna solo sbobinare il minimo comune multiplo, cioè $9(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2=9S(4,2,0)+15S(2,2,2)+9S(4,1,1)+9S(3,3,0)+54S(3,2,1)$

Resta dunque da dimostrare che $$4S(5,1,0)+S(4,1,1)+S(2,2,2) \geq S(4,2,0)+3S(3,3,0)+2S(3,2,1)$$

Ma per Bunching si sa che $S(5,1,0) \geq S(4,2,0)$, $3(5,1,0) \geq 3(3,3,0)$ e inoltre per Schur si ha che $S(3,0,0)+S(1,1,1) \geq 2S(2,1,0)$ che sommata a $S(1,1,1)$ da $S(4,1,1) + S(2,2,2) \geq 2S(3,2,1)$. Sommando le tre, arriviamo a quello che volevamo dimostrare.


P.S. Enorme possibilità di aver sbagliato i conti. Spero possa essere d'aiuto a qualcuno.

Saro00
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Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da Saro00 » 20 apr 2016, 17:28

Grazie mille!! :D
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

Nadal21
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Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da Nadal21 » 22 apr 2016, 15:42

Questo post è interessantissimo e utilissimo :D
Solo una curiosità: "metodo SPQ". SPQ è l'acronimo di....

Grazie ancora :wink:

fph
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Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da fph » 22 apr 2016, 17:48

Di un bel niente. :) $S$, $P$ e $Q$ sono nomi di variabile abbastanza diffusi per chiamare quelle che il buon scambret chiama $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ (Somma, Prodotto, e "cosa buffa Quadratica"). Il metodo ha preso il nome dalle lettere che si usano per applicarlo. Qualche volta lo chiamano anche ABC.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

scambret
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Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da scambret » 22 apr 2016, 22:07

Prego prego, qualunque cosa chiede :)

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