Somme simmetriche e Bunching

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
Rispondi
scambret
Messaggi: 624
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da scambret » 19 apr 2016, 20:00

Allora, il mio è un barbaro tentativo di dire due parole riguardo alle somme simmetriche e poi usarle nella loro potenza di simmetria. Tratterò per semplicità il caso $n=3$, sebbene tutto si generalizza per $n$ qualsiasi. Siano dunque $x,y,z$ le mie variabili reali positive

Somme simmetriche
Sia $f(a,b,c)=x^ay^bz^c$ con $a, b, c$ numeri reali. Allora indichiamo con $\displaystyle S(a,b,c)= \sum_{\textrm{sym}} f(a,b,c) = f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,a,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)+f(c,b,a)$, cioè permuto in tutti i modi possibili gli esponenti tra le varie variabili.

Da ora, se scrivo $(a,b,c)$ mi riferisco a $f(a,b,c)$.

Esempi: se $(1,1,1)$ allora $S(1,1,1) = xyz+xyz+xyz+xyz+xyz+xyz=6xyz$
Se $(2,1,1)$ allora $S(2,1,1) = x^2yz+x^2yz+xy^2z+xy^2z+xyz^2+xyz^2=2x^2yz+2xy^2z+2xyz^2$

Somme simmetriche e Bunching
Siano $(a_1, b_1, c_1)$ e $(a_2, b_2, c_2)$ tali che $a_1 \geq b_1 \geq c_1$ e $a_2 \geq b_2 \geq c_2$. Se si sa che

$$a_1 \geq a_2$$
$$a_1+b_1 \geq a_2+b_2$$
$$a_1+b_1+c_1=a_2+b_2+c_2$$

allora $$S(a_1,b_1,c_1) \geq S(a_2,b_2,c_2)$$

Con questo teorema si dimostra che, ad esempio, $$\frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}$$ e tutte quelle di McLaurin.

Somme simmetriche e Schur
Sia $t>0$. Allora $$S(t+2,0,0)+S(t,1,1) \geq 2S(t+1,1,0)$$

Questa disuguaglianza è la prima che uno dovrebbe usare se ha dei pezzi "forti" e dei pezzi "deboli" dalla parte del $\geq$, poichè ci sta dicendo, ad esempio, che $S(3,0,0)+S(1,1,1) \geq 2S(2,1,0)$. Senza Schur, si potrebbe dire che $S(3,0,0) \geq S(2,1,0)$, ma $(1,1,1) \leq (2,1,0)$.

Somme simmetriche e conti
Molto spesso la disuguaglianza data non è simmetrica (e in questo caso bisogna arrangiarsi, rendendola simmetrica) o non omogenea, ma spesso c'è un vincolo di omogeneità. In questo caso bisogna sfruttare il vincolo di omogeneità per rendere tutto simmetrico (parte conti), e dopo arriva la parte bunching + schur

Somme simmetriche e riscritture di disuguaglianze lunghe in piccole disuguaglianze
Solo un piccolo accenno: qualunque $S(a,b,c)$ può essere scritta in termini di $\sigma_1$, $\sigma_2$ e $\sigma_3$, dove $\sigma_1=x+y+z$, $\sigma_2=xy+yz+zx$ e $\sigma_3=xyz$. Da qui si può continuare con il metodo SPQ, che però non scriverò (almeno per ora).

Finalmente mettiamo tutto assieme, esempi di disuguaglianze
Es.1

Trovare la più grande costante reale $k$ tale che per ogni $a,b,c$ reale valga

$$\sqrt{\frac{ab}{c}} + \sqrt{\frac{bc}{a}} + \sqrt{\frac{ca}{b}} \geq k\sqrt{a+b+c}$$

Prima cosa, troviamo questa costante. Se piazziamo $a=b=c=1$ ottenaimo $k \leq \sqrt{3}$. Dunque proviamo a dimostrare che $k=\sqrt{3}$ è la miglior costante.

Ora notiamo che sia la parte di sinistra che quella di destra non sono simmetriche (bisogna avere 6 termini, non 3, altrimenti la disuguaglianza si dice ciclica. (Piccola parentesi: $\sum_{\textrm{cyc}} f(a,b,c) = f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$). La parte di destra non è neanche facilmente manipolabile, dal momento che abbiamo una somma sotto radice.

Rendiamo tutto simmetrico quindi. Eleviamo al quadrato e otteniamo

$$\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} + S(1,0,0) \geq \frac{3}{2} S(1,0,0)$$

Ricordatevi di dividere per due perchè $S(1,0,0)=2(x+y+z)$

Dunque bisogna dimostrare che

$$\frac{1}{2} S(1,1,-1) \geq \frac{1}{2}S(1,0,0)$$

e questo è vero per Bunching


Come si sarà intuito, la difficoltà vera sono i conti, perché una volta che si impara a maneggiare le varie somme simmetriche facendo i conti alla furba maniera, la disuguaglianza è facile

Es.2

$$\frac{2a}{a^{2}+bc}+\frac{2b}{b^{2}+ca}+\frac{2c}{c^{2}+ab}\leq\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}$$

Facciamo tutti i conti del mondo

Il minimo comun denominatore è $(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)abc$. Dunque possiamo scrivere la parte sinistra della disuguaglianza (LHS) cosi

$\textrm{LHS}=2a \cdot abc (b^2+ca)(c^2+ab) + \textrm{stessa cosa per b e c, cambiando le variabili} = \sum_{\textrm{sym}} a^2bc(b^2+ca)(c^2+ab)$ = $\sum_{\textrm{sym}} a^2bc(b^2c^2+ab^3+ac^3+a^2bc) = \sum_{\textrm{sym}} a^2b^3c^3 + a^3b^4c + a^3bc^4 + a^4b^2c^2$ = $S(3,3,2) + 2S(4,3,1) + S(4,2,2)$

Ora sbobiniamo i conti del RHS (parte di destra)

$\textrm{RHS} = a(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)a + \textrm{stessa cosa per b e c, cambiando le variabili}$ = $a^2(a^2b^2c^2+a^3b^3+a^3c^3+a^4bc+b^3c^3+ab^4c+abc^4+a^2b^2c^2) + \textrm{stessa cosa per b e c, cambiando le variabili}$ = $S(4,2,2)+S(5,3,0)+S(4,3,1)+\frac{1}{2}S(6,1,1)+\frac{1}{2} S(3,3,2)$

Cosa bisogna dimostrare quindi?

$$2S(3,3,2) + 4S(4,3,1)+ 2S(4,2,2) \leq 2S(4,2,2)+2S(5,3,0)+2S(4,3,1)+S(6,1,1)+S(3,3,2)$$

oppure

$$(3,3,2)+2S(4,3,1) \leq S(6,1,1)+2S(5,3,0)$$

e questo è vero per qualunque scelta sensata di Bunching.

Es. 3 (suicidio)

$$(xy+yz+zx)(\frac{1}{(x+y)^2} + \frac{1}{(y+z)^2} + \frac{1}{(z+x)^2}) \geq \frac{9}{4}$$

Questo è IL PROBLEMA con Bunching e Schur. Prima però ci sono i contazzi da fare, che rendono questo un problema maledetto.

Il minimo comun denominatore è $(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2$

Dunque fatto comun denominatore e portato a destra il denominatore si ottiene che LHS è della forma $4(xy+yz+zx)[(x+y)^2(y+z)^2+(y+z)^2(z+x)^2+(z+x)^2(x+y)^2]$. In questo caso può convenire lasciare $4(xy+yz+zx)$ e fare il conto dell'altra parentesi. Risulterà dunque che la parentesi [...] deve avere 48 termini (questo è un check classico per non sbagliare almeno il numero di termini) ed è pari a $\frac{3}{2} S(2,2,0) + \frac{1}{2} S(4,0,0) + 2S(3,1,0) + 4S(2,1,1)$. Ora bisogna moltiplicare il delirio appena trovato per $4(xy+yz+zx)$, dunque intanto moltiplichiamo per 4 per ottenere $6S(2,2,0)+2S(4,0,0)+8S(3,1,0)+16S(2,1,1)$. Ora per $(xy+yz+zx)$. Per fare il conto rapido, l'effetto del prodotto con $xy$ si trova aggiungendo $S(1,1,0)$ ai vettori interessati, cioè si ottiene $6S(3,3,0)+2S(5,1,0)+8S(4,2,0)+16S(3,2,1)$. Per l'effetto di $yz$ basta aggiungere $S(0,1,1)$, dunque si ottiene $6S(2,3,1)+2S(4,1,1)+8S(3,2,1)+16S(2,2,2)=6S(3,2,1)+2S(4,1,1)+8S(3,2,1)+16S(2,2,2)$. Per l'ultimo effetto si ottiene $6S(3,2,1)+2S(5,0,1)+8S(4,1,1)+16S(3,1,2)=6S(3,2,1)+2S(5,1,0)+8S(4,1,1)+16S(3,2,1)$.

Dunque $\textrm{LHS}=6S(3,3,0)+2S(5,1,0)+8S(4,2,0)+16S(3,2,1)+6S(3,2,1)+2S(4,1,1)+8S(3,2,1)+16S(2,2,2)+$ $+6S(3,2,1)+2S(5,1,0)+8S(4,1,1)+16S(3,2,1)=4S(5,1,0)+8S(4,2,0)+10S(4,1,1)+$ $+6S(3,3,0)+52S(3,2,1)+16S(2,2,2)$

Per il RHS bisogna solo sbobinare il minimo comune multiplo, cioè $9(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2=9S(4,2,0)+15S(2,2,2)+9S(4,1,1)+9S(3,3,0)+54S(3,2,1)$

Resta dunque da dimostrare che $$4S(5,1,0)+S(4,1,1)+S(2,2,2) \geq S(4,2,0)+3S(3,3,0)+2S(3,2,1)$$

Ma per Bunching si sa che $S(5,1,0) \geq S(4,2,0)$, $3(5,1,0) \geq 3(3,3,0)$ e inoltre per Schur si ha che $S(3,0,0)+S(1,1,1) \geq 2S(2,1,0)$ che sommata a $S(1,1,1)$ da $S(4,1,1) + S(2,2,2) \geq 2S(3,2,1)$. Sommando le tre, arriviamo a quello che volevamo dimostrare.


P.S. Enorme possibilità di aver sbagliato i conti. Spero possa essere d'aiuto a qualcuno.
"Volevo er milkshake, lo bbevo ogni morte dde papa"
"M anno buttato la crema solare, era de mi mamma"
"Me vie na congestione"
Panini che viaggiano molto velocemente verso la faccia di un tizio che risponde "I'm not hungry"

Aeroporto di Atene, 8 maggio 2015! Ancora nel cuore ITA4

Saro00
Messaggi: 101
Iscritto il: 27 mag 2015, 10:52
Località: Provincia di Milano

Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da Saro00 » 20 apr 2016, 17:28

Grazie mille!! :D
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi. 8)

Nadal21
Messaggi: 135
Iscritto il: 12 mar 2015, 15:30

Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da Nadal21 » 22 apr 2016, 15:42

Questo post è interessantissimo e utilissimo :D
Solo una curiosità: "metodo SPQ". SPQ è l'acronimo di....

Grazie ancora :wink:

fph
Site Admin
Messaggi: 3316
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da fph » 22 apr 2016, 17:48

Di un bel niente. :) $S$, $P$ e $Q$ sono nomi di variabile abbastanza diffusi per chiamare quelle che il buon scambret chiama $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ (Somma, Prodotto, e "cosa buffa Quadratica"). Il metodo ha preso il nome dalle lettere che si usano per applicarlo. Qualche volta lo chiamano anche ABC.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

scambret
Messaggi: 624
Iscritto il: 23 mag 2012, 20:49
Località: Acquarica del Capo

Re: Somme simmetriche e Bunching

Messaggio da scambret » 22 apr 2016, 22:07

Prego prego, qualunque cosa chiede :)
"Volevo er milkshake, lo bbevo ogni morte dde papa"
"M anno buttato la crema solare, era de mi mamma"
"Me vie na congestione"
Panini che viaggiano molto velocemente verso la faccia di un tizio che risponde "I'm not hungry"

Aeroporto di Atene, 8 maggio 2015! Ancora nel cuore ITA4

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti