Pagina 1 di 1

Le coniche e gli ortocentri sono amici ?

Inviato: 30 mar 2016, 17:22
da 6frusciante9
Chiedo ai più esperti : che voi sappiate c'è qualche teorema che dice che dato un triangolo su una conica allora l'ortocentro del triangolo al variare di un vertice disegna una conica dello stesso tipo ? Perché giocando un po' con geogebra mi è sembrato vero e ad esempio lo ho dimostrato senza tanti problemi per una circonferenza ...

Re: Le coniche e gli ortocentri sono amici ?

Inviato: 30 mar 2016, 21:57
da spugna
Non so se questo fatto ha un nome, comunque è vero (forse serve anche l'ipotesi che la conica non sia degenere): nel testo nascosto c'è la mia dimostrazione
Testo nascosto:
Supponiamo che i vertici "fermi" del triangolo siano i punti $(\pm 1,0)$, che chiameremo $A$ e $B$, e consideriamo la funzione $f$ che manda il punto $P$ nell'ortocentro di $ABP$: si vede facilmente che $f(x,y)=\left(x,\dfrac{1-x^2}{y}\right)$, e che se togliamo le rette $y=0$ e $x=\pm1$ la funzione è invertibile e uguale alla sua inversa.

Ora, una generica conica passante per $A$ e $B$ ha equazione $x^2-1+(ax+by+c)y=0$, e per trovare il luogo degli ortocentri basta effettuare la sostituzione $(x,y)=f(x',y')$, che porta a

$x'^2-1+\left(ax'+b \dfrac{1-x'^2}{y'}+c \right) \dfrac{1-x'^2}{y'}=0$
$(1-x'^2) \left(-1+\dfrac{1}{y'} \left(ax'+b \dfrac{1-x'^2}{y'}+c \right) \right)=0$

A questo punto dividiamo per $1-x'^2$ e moltiplichiamo per $y'^2$, che sono diversi da 0 tranne in un paio di casi particolari (che andrebbero sistemati singolarmente, ma sinceramente non ne ho voglia :roll: )

$-bx'^2+ax'y'-y'^2+cy'+b=0$

Per dire che è una conica dello stesso tipo di quella di partenza basta osservare che il segno dei loro discriminanti è lo stesso (in realtà questo non distingue ellissi e circonferenze, ma anche in questo caso si conclude immediatamente)