Le coniche e gli ortocentri sono amici ?

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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6frusciante9
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Le coniche e gli ortocentri sono amici ?

Messaggio da 6frusciante9 » 30 mar 2016, 17:22

Chiedo ai più esperti : che voi sappiate c'è qualche teorema che dice che dato un triangolo su una conica allora l'ortocentro del triangolo al variare di un vertice disegna una conica dello stesso tipo ? Perché giocando un po' con geogebra mi è sembrato vero e ad esempio lo ho dimostrato senza tanti problemi per una circonferenza ...
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spugna
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Re: Le coniche e gli ortocentri sono amici ?

Messaggio da spugna » 30 mar 2016, 21:57

Non so se questo fatto ha un nome, comunque è vero (forse serve anche l'ipotesi che la conica non sia degenere): nel testo nascosto c'è la mia dimostrazione
Testo nascosto:
Supponiamo che i vertici "fermi" del triangolo siano i punti $(\pm 1,0)$, che chiameremo $A$ e $B$, e consideriamo la funzione $f$ che manda il punto $P$ nell'ortocentro di $ABP$: si vede facilmente che $f(x,y)=\left(x,\dfrac{1-x^2}{y}\right)$, e che se togliamo le rette $y=0$ e $x=\pm1$ la funzione è invertibile e uguale alla sua inversa.

Ora, una generica conica passante per $A$ e $B$ ha equazione $x^2-1+(ax+by+c)y=0$, e per trovare il luogo degli ortocentri basta effettuare la sostituzione $(x,y)=f(x',y')$, che porta a

$x'^2-1+\left(ax'+b \dfrac{1-x'^2}{y'}+c \right) \dfrac{1-x'^2}{y'}=0$
$(1-x'^2) \left(-1+\dfrac{1}{y'} \left(ax'+b \dfrac{1-x'^2}{y'}+c \right) \right)=0$

A questo punto dividiamo per $1-x'^2$ e moltiplichiamo per $y'^2$, che sono diversi da 0 tranne in un paio di casi particolari (che andrebbero sistemati singolarmente, ma sinceramente non ne ho voglia :roll: )

$-bx'^2+ax'y'-y'^2+cy'+b=0$

Per dire che è una conica dello stesso tipo di quella di partenza basta osservare che il segno dei loro discriminanti è lo stesso (in realtà questo non distingue ellissi e circonferenze, ma anche in questo caso si conclude immediatamente)
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero 100, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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