equazione di cuachy

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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wotzu
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equazione di cuachy

Messaggio da wotzu » 30 gen 2016, 21:47

allora prendiamo :
\begin{equation}f(xy)=f(x)+f(y)
\end{equation}
con $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
trovi facilmente $f(0)=0$ e poi sostituendo a $y$ zero trovi che $f(x)=0$ per ogni $x$.
come si fa a far venire fuori la funzione logaritmica, cioè con quale ragionamento capisci che $f(x)=0$ non è l'unica soluzione?

matpro98
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Re: equazione di cuachy

Messaggio da matpro98 » 31 gen 2016, 00:53

La mia è solo un'idea, non so la vera risposta quale sia, ma ad esempio $f (1)=0$, quindi $f (2)=-f (\frac {1}{2}) $ che ti fa venire il dubbio con il logaritmo

mr96
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Re: equazione di cuachy

Messaggio da mr96 » 31 gen 2016, 02:20

Intanto in $ \mathbb{R} $ è un po' delicata la cosa: devi assumere che $ f $ sia continua, altrimenti crollano un po' di cose e le soluzioni non sono solo più quelle (o boh, magari mi smentiscono, ma a me l'hanno spacciata così... Non so esattamente cosa succeda se non si assume la continuità).

Prendi $ x,y>0 $ e restringi la funzioe in $ \mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R} $, esistono $ a,b $ tali che $ x=e^a $ e $ y=e^b $, inoltre esiste $ g $ tale che $ f(e^t)=g(t) $.

Quindi la nostra equazione diventa del tipo $ g(a+b)=g(a)+g(b) $, che sappiamo avere unica soluzione in $ g(x)=cx $, quindi $ f(x)=c\cdot lnx $. Il problema è che adesso dobbiamo ritornare su $ \mathbb{R} $, ma il logaritmo non è definito per i negativi: $ c=0 $ è l'unica e trovi quello che hai trovato tu.

Questo è tipo un "flusso di roba" delle 2 e mezza di notte, non prenderla come oro colato, in ogni caso io farei così, ma sarei felice di essere corretto/smentito :D

fph
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Re: equazione di cuachy

Messaggio da fph » 31 gen 2016, 09:17

Mi sembra tutto corretto. È vero che su $\mathbb{R}^+$ ci sono anche le soluzioni patologiche; se uno non ha delle ipotesi in più (continuità, o più in generale "quadratino vuoto nel grafico"), quello che si può fare è replicare la dimostrazione classica della Cauchy (standoci attento, però, perché ora il dominio è $\mathbb{R}^+$ e cose come "pongo $y=-x$" non puoi farle), e ottenere che $g(t) = ct$ su tutto $\mathbb{Q}$, il che vuol dire che $f(x) = c\log x$ sull'insieme $\{x : \log x \in\mathbb{Q}\}$ (occhio!).
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wotzu
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Re: equazione di cuachy

Messaggio da wotzu » 31 gen 2016, 20:42

ok un po' mi sono chiarito, ho trovato anche quest'altro modo:
con $f:\mathbb{R_+}\to\mathbb{R}$
assumi che $f$ è derivabile (quindi anche continua).
allora tenendo $y$ fissata deriviamo per $x$, ottenendo :\begin{equation} yf'(xy)=f'(x).
\end{equation}
per $x=1$ uno ottine $yf'(y)=f'(1)$, cambiando di variabile si ha $xf'(x)=f'(1)$, si integra:
\begin{equation}f(x)=\int {\frac{f'(1)}{x}}dx=f'(1) \ln x
\end{equation}
se $f$ è definita per $x<0$ la soluzione sarà $f'(1)\ln |x|$. ma in questo caso $f'(1)$ ha il ruolo di costante?
quindi se lo zero non rientra nel dominio della funzione la soluzione è con i logaritmi mentre se rientra dovrebbe essere $f(x)=0$ per ogni $x$ giusto?
e poi se lo zero è nel dominio di $f$ c'è bisogno che $f$ sia continua ?

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Re: equazione di cuachy

Messaggio da fph » 31 gen 2016, 23:19

Se lo zero è nel dominio di $f$, non ci vuole molto a dimostrare che $f$ è la costante zero. La tua soluzione ha qualche buco perché non consideri la costante (o le costanti?) quanto integri.
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Re: equazione di cuachy

Messaggio da wotzu » 01 feb 2016, 22:34

ah è vero.
provo ad aggiustare.
se $f(x)=f'(1)\ln x +c$ allora sostituendo nell'equazione iniziale (ponendo $x=y$) ottengo: $f(x^2)=2f(x)\to f'(1)\ln {x^2}+c=2f'(1)\ln x+2c$ da cui $c$ deve per forza essere zero.
ditemi se c'è qualche altro errore

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Re: equazione di cuachy

Messaggio da fph » 01 feb 2016, 22:47

Ora mi sembra tutto ok, a patto che il dominio sia $\mathbb{R}^+$. Con più fatica per dimostrarlo, lo stesso risultato vale anche senza assumere la derivabilità, ma solo continuità o "quadratino vuoto". Domanda che mi ponevo ora, e a cui non so davvero la risposta (ma immagino che sia fattibile): cosa succede se il dominio è $\{x \in \mathbb{R} : x \neq 0\}$? Ci sono altre soluzioni?
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Re: equazione di cuachy

Messaggio da angelo3 » 01 feb 2016, 22:58

Potresti farmi qualche esempio di soluzioni "patologiche"?
Angelo

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Re: equazione di cuachy

Messaggio da fph » 01 feb 2016, 23:29

Non c'è una formula esplicita per le soluzioni "patologiche", sono funzioni definite solo implicitamente in termini di insiemi infiniti non costruibili esplicitamente (basi di Hamel). Trovi una breve descrizione in fondo a questa dispensa, se ti interessa: http://fph.altervista.org/oli/files/arnesi.pdf.
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