OliForum Matematico

Per quanto mi sia sforzato, c'è un passaggio della dimostrazione di una stima sui numeri di Ramsey che mi sfugge (pag. 65 dell'Engel). Il passaggio incriminato è questo:
$$
\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\ldots<\frac{1}{n!} \Bigl(\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)!}+\dots \Bigr)=\frac{1}{n\cdot n!}
$$
L'ultima uguaglianza implica
$$
\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)!}+\dots=\frac{1}{n}
$$
per cui ponendo n=1 si avrebbe $\frac{1}{2}+\frac{1}{2!}+\dots=1\implies \dots = 0$, e anche con $n=2$ si ha $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\dots=\frac{1}{2}\implies \dots = 0$, mentre con $n\ge 3$ si trova $\dots \ne 0$ (scusate per l'abuso di scrittura).
Non riesco ad immaginare cosa ci sia al posto dei secondi $\dots$, anche se suppongo che ci sia un errore nella parentesi $\Bigl(\frac{1}{(n+1)}+\frac{1}{(n+1)!}+\dots \Bigr)$
Qualcuno può illuminarmi?

Non ho l'Engel sotto mano, ma penso che la versione corretta possa essere questa: la disuguaglianza $\displaystyle \frac{1}{(n+k)!} \leq \frac{1}{n!} \frac{1}{(n+1)^k}$ vale per ogni $k \geq 1$, e vale con il minore stretto non appena $k \geq 2$, da cui
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \cdots & < \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+1)^3} + \cdots + \frac{1}{(n+1)^k }+\cdots \right) \\ & = \frac{1}{n!} \frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(n+1)^i} \\ & = \frac{1}{n!} \frac{1}{n+1} \frac{1}{1-\frac{1}{n+1}} = \frac{1}{n!} \; \frac{1}{n}
\end{aligned}
\]

Buono studio dell'Engel

Grazie mille!