OliForum Matematico

Ciao a tutti!
Nella risoluzione di molti problemi ho trovato abbastanza utile usare i polinomi ciclotomici.
So cosa sono; per intenderci, so più o meno tutto quello che si trova qua https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial e quello che è stato detto al Senior Basic di quest'anno (anche se non ci sono andato ).
Volevo che qualche pro del forum scrivesse tutti i fatti noti riguardanti questi celebri polinomi che si possono usare nelle gare.
Ne scrivo uno io.

Lemma 1: Sia $ p $ un primo. Gli unici primi $ q $ che dividono $ \Phi_p $ sono $ p $ e i primi congrui a $ 1 $ modulo $ p $.

Dimostrazione: La lascio a voi.

Problemi relativi: viewtopic.php?f=15&t=19678, viewtopic.php?f=15&t=19540


Affinché questa pagina continui, invoco EvaristeG, fph e darkcrystal.

So di essere il solito guastafeste ma...

viewtopic.php?f=15&t=13156&p=108876 non era abbastanza bello?

Scusa, avendo cercato solo in "Glossario e teoria di base" non l'avevo vista.
Si può in qualche modo rimuovere il messaggio?

Il lemma che hai scritto tu vale più in generale: se $p\mid \Phi_n(a)$ per un qualche intero $a$, allora o $p\mid n$ oppure $p\equiv1\pmod n$.
Un fatto carino che deriva da questo è, ad esempio, che per ogni $n$ ci sono infiniti primi nella successione aritmetica $kn+1$.
Tuttavia non mi è parso di vederli così spesso nei problemi (a parte quelli linkati, con la versione debole che si dimostra a mano), però sono innegabilmente affascinanti xD (vedi magie tipo questa)
Dato che non ho voglia di texxare, mi limito a linkare un paio di dispense:
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/notes/08.pdf
http://www.yimin-ge.com/doc/cyclotomic_polynomials.pdf
http://www.lehigh.edu/~shw2/c-poly/several_proofs.pdf (qua si dimostra che sono irriducibili)

EDIT: vabbè, non conoscevo quel post di jordan, lascio lo stesso le dispense

Grazie Mille Drago96!