Ciao a tutti!
Nella risoluzione di molti problemi ho trovato abbastanza utile usare i polinomi ciclotomici.
So cosa sono; per intenderci, so più o meno tutto quello che si trova qua https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial e quello che è stato detto al Senior Basic di quest'anno (anche se non ci sono andato ).
Volevo che qualche pro del forum scrivesse tutti i fatti noti riguardanti questi celebri polinomi che si possono usare nelle gare.
Ne scrivo uno io.
Lemma 1: Sia $ p $ un primo. Gli unici primi $ q $ che dividono $ \Phi_p $ sono $ p $ e i primi congrui a $ 1 $ modulo $ p $.
Dimostrazione: La lascio a voi.
Problemi relativi: viewtopic.php?f=15&t=19678, viewtopic.php?f=15&t=19540
Affinché questa pagina continui, invoco EvaristeG, fph e darkcrystal.
Polinomi Ciclotomici
Polinomi Ciclotomici
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Polinomi Ciclotomici
So di essere il solito guastafeste ma...
viewtopic.php?f=15&t=13156&p=108876 non era abbastanza bello?
viewtopic.php?f=15&t=13156&p=108876 non era abbastanza bello?
"Sei il Ballini della situazione" -- Nikkio
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
"Meriti la menzione di sdegno" -- troppa gente
"Sei arrivato 69esimo? Ottima posizione!" -- Andrea M. (che non è Andrea Monti, come certa gente pensa)
"Se ti interessa stanno inventando le baricentriche elettroniche, che dovrebbero aiutare a smettere..." -- Bernardo
Re: Polinomi Ciclotomici
Scusa, avendo cercato solo in "Glossario e teoria di base" non l'avevo vista.
Si può in qualche modo rimuovere il messaggio?
Si può in qualche modo rimuovere il messaggio?
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
Re: Polinomi Ciclotomici
Il lemma che hai scritto tu vale più in generale: se $p\mid \Phi_n(a)$ per un qualche intero $a$, allora o $p\mid n$ oppure $p\equiv1\pmod n$.
Un fatto carino che deriva da questo è, ad esempio, che per ogni $n$ ci sono infiniti primi nella successione aritmetica $kn+1$.
Tuttavia non mi è parso di vederli così spesso nei problemi (a parte quelli linkati, con la versione debole che si dimostra a mano), però sono innegabilmente affascinanti xD (vedi magie tipo questa)
Dato che non ho voglia di texxare, mi limito a linkare un paio di dispense:
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/notes/08.pdf
http://www.yimin-ge.com/doc/cyclotomic_polynomials.pdf
http://www.lehigh.edu/~shw2/c-poly/several_proofs.pdf (qua si dimostra che sono irriducibili)
EDIT: vabbè, non conoscevo quel post di jordan, lascio lo stesso le dispense
Un fatto carino che deriva da questo è, ad esempio, che per ogni $n$ ci sono infiniti primi nella successione aritmetica $kn+1$.
Tuttavia non mi è parso di vederli così spesso nei problemi (a parte quelli linkati, con la versione debole che si dimostra a mano), però sono innegabilmente affascinanti xD (vedi magie tipo questa)
Dato che non ho voglia di texxare, mi limito a linkare un paio di dispense:
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/notes/08.pdf
http://www.yimin-ge.com/doc/cyclotomic_polynomials.pdf
http://www.lehigh.edu/~shw2/c-poly/several_proofs.pdf (qua si dimostra che sono irriducibili)
EDIT: vabbè, non conoscevo quel post di jordan, lascio lo stesso le dispense
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Polinomi Ciclotomici
Grazie Mille Drago96!
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.