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Avrei bisogno di aiuto per le trasformazioni geometriche (le ho "incontrate" per la prima volta al senior lo scorso settembre): parlando delle affinità mi sembrava di aver capito che posso mandare un qualunque triangolo in un triangolo equilatero, rettangolo o isoscele che volessi. Per i quadrilateri cosa posso fare? Per dimostrare l'allineamento tra alcuni punti in un quadrilatero ciclico (i punti cui mi riferisco sono: diviso il quadrilatero in quattro triangoli dalle diagonali, l'ortocentro di uno dei triangoli, il circocentro del triangolo opposto e il punto di incrocio delle diagonali) posso ricondurmi al caso in cui i punti siano individuati in un quadrato? (sono in dubbio poiché in quest'ultimo ho due coppie di lati paralleli e le affinità conservano il parallelismo).
Grazie e scusate se ciò che ho scritto sono solo colossali errori uno di seguito all'altro.
p.s. le affinità in quale video del senior posso trovarle a parte G3 di quest'anno? (ho provato a guardare in altre annate ma non ho trovato nulla).

Prendi l'affinità che manda tre vertici del parallelogramma in un triangolo 90-45-45. Dove finisce il quarto vertice, visto che le affinità conservano il parallelismo?

Credo che il quarto vertice finisca in quello che forma con il triangolo 90-45-45 un quadrato avente come diagonale l'ipotenusa di tale triangolo, così conservo il parallelismo. Quindi ciò che avevo detto precedentemente non può essere fatto. Però ritornando al problema che sto provando a risolvere con le trasformazioni geometriche, che è il primo del libretto di G3 del senior 2014 che ho scaricato dal forum, avevo pensato di fare così: nel caso del quadrato i tre punti in questione sono allineati poiché è evidente che gli ortocentri siano coincidenti con il punto di incrocio delle diagonali del quadrato stesso. Detto ABCD il quadrato, O il circocentro in questione, H l'ortocentro e P il punto di incontro delle diagonali, posso per affinità mandare il triangolo HOA nel triangolo H'O'A' da cui partire a costruire il quadrilatero circoscrivibile delle ipotesi, mantenendo così l'allineamento dei tre punti in questione siccome l'affinità manda rette in rette?
Grazie ancora e mi scuso nuovamente per gli errori che certamente sopra ho commesso.

Il problema è: quello che costruisci che ha H' e O' come ortocentro e circocentro è davvero un quadrilatero ciclico? Riesci a costruire ogni possibile quadrilatero ciclico cosi?
La risposta è no, perché partendo da un quadrato che ha le coppie di lati parallele non puoi ottenere un quadrilatero che non ce le ha; per di più, essendo H coincidente con P ( e quindi A,H,C allineati), nel nuovo quadrilatero costruito otterresti A', H', C' allineati. Inoltre, non tutte le affinità conservano gli angoli, quindi non sei neanche più sicuro che A'H' sia un'altezza...

Per risolvere il problema, una serie di hint:

Provo a scrivere la mia soluzione sperando di aver usato bene i suggerimenti: considero il quadrilatero ciclico ABCD, con P punto di intersezione delle diagonali.
Considero i triangoli CDP e ABP: sono simili per il primo criterio di similitudine in quanto hanno un angolo opposto al vertice ed è possibile individuare due coppie di angoli che insistono sullo stesso arco di circonferenza.
Supponendo wlog che ABP sia "più piccolo di CDP", lo dilato fino a ottenere due triangoli congruenti che sovrappongo.
Ottengo così il triangolo PA(coincidente D)B(coincidente C). Considero le rette PO e PH: H e O solo l'uno il coniugato isogonale dell'altro, quindi le rette considerate sono simmetriche rispetto alla bisettrice.
Perciò se ridispiego i triangoli questi formeranno angoli opposti al vertice per cui congruenti, da cui facilmente si deduce che O,P,H in un quadrilatero ciclico devono appartenere alla stessa retta.
Grazie dell'aiuto, spero che la dimostrazione sia corretta. Un'ultima cosa al riguardo, però: nella dimostrazione sopra (ammesso che sia corretta e che sia quella suggeritami) non ho utilizzato le affinità o sbaglio? (non dovrebbero conservare i rapporti tra lunghezze di segmenti appartenenti alla stessa retta e non conservare gli angoli, entrambi fatti di cui non ho tenuto conto?)

Si, la dimostrazione è giusta
Se vuoi essere formale formale si, perché un'omotetia e anche tutte le isometrie (traslazioni, rotazioni, simmetrie) sono casi particolari di affinità; tuttavia non le usi nella forma più generale, ma nella forma specifica dell'omotetia che conserva anche tante altre cose, tipo gli angoli.

Ho messo quei hint per una dimostrazione più "intuitiva", volendo si può anche dimostrarlo prendendo il circocentro O' e l'ortocentro H di ABP, O il circocentro di CDP. Per similitudine e coniugati si hanno tanti angoli uguali da cui la tesi.