disuguaglianza di Nesbitt e Cauchy-Schwarz

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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alegh
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disuguaglianza di Nesbitt e Cauchy-Schwarz

Messaggio da alegh » 17 ago 2015, 19:48

Se in una gara o in un test ci viene chiesto di dimostrare la disuguaglianza di Nesbitt usando Cauchy-Schwarz e per risolvere Nesbitt usiamo quindi il lemma di Titu siccome deriva da Cauchy rispettiamo la consegna dell'esercizio? Dobbiamo anche riportare come si ricava Titu da Cauchy o è scontato che Titu è Cauchy in un altra forma e quindi si rispetta la consegna dell'esercizio semplicemente citandolo?
Grazie.

p.s. chiedo scusa se questo non è il posto adatto dove postare questo messaggio ma non avevo idea sulla sezione in cui sarebbe dovuto essere postato.

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karlosson_sul_tetto
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Re: disuguaglianza di Nesbitt e Cauchy-Schwarz

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 17 ago 2015, 20:15

Immagino che tu ti stia riferendo ad A2-10 del senior 2002 :mrgreen:

Per come è scritto il fascicoletto, gli esercizi sono fatti per insegnare e far vedere problemi risolvibili con tecniche "standard"; in particolare, se ci sono diverse dimostrazioni e idee utili, perché non provare a vederle tutte?

Passando alla realtà delle gare, in nessuna gara nel testo ti possono dire "dimostra questo in questo modo" (perché sarebbe già mezzo problema risolto...), al massimo puoi trovare cose tipo "è severamente vietato derivare".
Ancora più in particolare, presupponendo che tu ti riferisca agli esercizi noti per il Test Finale del Senior: premetto che non sono un organizzatore quindi le mie parole non hanno nessuna ufficialità :) , ma per quanto detto prima è improponibile mettere in una gara "dimostra questo con questo". L'esercizio, se uscisse in gara, dovrebbe essere scritto in una forma del tipo "dimostra che per ogni a,b,c vale *disuguaglianza*".
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Re: disuguaglianza di Nesbitt e Cauchy-Schwarz

Messaggio da alegh » 17 ago 2015, 21:41

Ok, grazie, non avevo riflettuto sul fatto che se ti dicessero quale tecnica usare nella dimostrazione ti rimarrebbe da fare solo metà del lavoro.

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Re: disuguaglianza di Nesbitt e Cauchy-Schwarz

Messaggio da alegh » 18 ago 2015, 12:44

Scusate ma sono arrivato ad un punto e non so come procedere: ci sono tecniche standard per calcolare le costanti entro cui si muovono i valori assunti da una determinata espressione?
Ad esempio per la disuguaglianza di Nesbitt ho supposto che la costante migliore a cui l'espressione fosse sempre maggiore fosse appunto $ \frac{3}{2} $ mentre per trovare quella a cui fosse minore ho supposto che$ a, b, c $ fossero i lati di un triangolo e perciò ho trovato il valore $ 2 $. Penso però che non sia corretto siccome avrei ristretto il campo a solo i valori che rispettano la disuguaglianza triangolare.
Dovrei provare sia per la costante maggiore che per quella minore con i casi estremi della disuguaglianza di riarrangiamento? Generalmente potrebbe essere una buona idea?

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karlosson_sul_tetto
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Re: disuguaglianza di Nesbitt e Cauchy-Schwarz

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 19 ago 2015, 09:45

Tecniche standard "meccaniche" non direi, in genere il lavoro è:
-stimare la costante
-tentare di dimostrare costante < (o >) espressione
-se si fallisce, mettere particolari valori nell'espressione per minimizzarla/massimizzarla
-repeat

Per esempio, se ho la nesbitt classica $ \sum_{cyc}\frac{a}{b+c} $ e voglio trovare due costanti, sopra e sotto.
Per esempio posso dire "provo a mettere a=b=c, allora l'espressione diventa uguale a $\frac{3}{2}$, allora la costante è $\leq \frac{3}{2} $. E se provo altre combinazioni? b=2a, c=3a? a=molto piccolo, b=1, c=molto grande? vedo che in tutti questi tentativi viene maggiore della prima costante, quindi mi convinco che è il minimo e cerco di dimostrarlo.
Un altro modo per trovare i casi estremi è analizzare le disuguaglianze che si vogliono usare. AM-GM ha uguaglianza quando tutti i termini sono uguali, Cauchy-Schwarz quando le due n-uple sono ottenibili l'una dall'altra moltiplicando tutti i numeri per una stessa costante, Schur quando due sono uguali e l'altro è 0, eccetera. Quindi se si mettono valori dei casi particolari di disuguaglianze famose (che ad occhio sembrano poter essere utilizzate nel problema), puoi trovare il caso di uguaglianza e quindi la costante minima (o massima).
Ora, per stimare Nesbitt dall'altro, facendo un po' di tentativi mi accorgo che se scelgo a molto grande, b e c molto piccoli, allora $ \frac{a}{b+c} $ può diventare grande a piacere, mentre gli altri termini, essendo positivi, contribuiscono soltanto ad accrescerlo. Quindi non c'è un upper bound per Nesbitt.

Per rispondere alle tue domande: si, dimostrare che una disuguaglianza vale per certi valori ma non tutti quelli che potresti scegliere non è una dimostrazione corretta. Tuttavia, se dimostri che quelli sono i tuoi casi particolari (o che se prendi un altra terna di numeri l'espressione sarà minore (o maggiore, nel verso giusto), di quella ottenuta con una tua terna "particolare" (per esempio se una disisuguaglianza è omogenea, puoi moltiplicare tutti i valori per una costante e mettere condizioni quasi a piacere).
Come vedi, per Nesbitt si è rivelata falsa: non ha stime da sopra.
E si, è molto utile provare i casi estremi (sapendo che sono estremi!) :)
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