Equazioni di Cauchy
Equazioni di Cauchy
Una volta dimostrato che una funzione $\mathbb{R}: \longrightarrow \mathbb{R}$ è una Cauchy, per dimostrare che le uniche soluzione sono quelle belle eistono (da quel che ho letto) tre ipotesi aggiuntive da verificare:
-$f(x)$ è continua
-$f(x)$ è monotona (almeno in un intervallo)
-$f(x)$ è limitata superiormente o inferiormente (almeno in un intervallo)
Fonte
L'ultima condizione mi lascia perplesso, in quanto sul pdf di fph la limitatezza è espressa come $|f(x)|<M$ per ogni $x$ appartenente a un intervallo, quindi $f(x)$ è "limitata superiormente E inferiormente", mentre wikipedia dice "limitata superiormente O inferiormente".
Ha ragione fph o wikipedia?
-$f(x)$ è continua
-$f(x)$ è monotona (almeno in un intervallo)
-$f(x)$ è limitata superiormente o inferiormente (almeno in un intervallo)
Fonte
L'ultima condizione mi lascia perplesso, in quanto sul pdf di fph la limitatezza è espressa come $|f(x)|<M$ per ogni $x$ appartenente a un intervallo, quindi $f(x)$ è "limitata superiormente E inferiormente", mentre wikipedia dice "limitata superiormente O inferiormente".
Ha ragione fph o wikipedia?
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: Equazioni di Cauchy
Spero di non sbagliarmi, però mi sembra semplicemente che dimostrando che è limitata sia superiormente che inferiormente, si dimostri qualcosa di più forte di "limitata inferiormente o superiormente".
Premetto che non ne so molto, però se ho capito qualcosa da questo topic( viewtopic.php?f=13&t=19526), mi sembra che queste ipotesi servano per dire che c'è una regione chiusa del piano in cui non ci sono punti del grafico di $f$. Quindi dimostrare che limitata sia sup. che inf. in questo senso non dovrebbe inficiare negativamente la dimostrazione.
Premetto che non ne so molto, però se ho capito qualcosa da questo topic( viewtopic.php?f=13&t=19526), mi sembra che queste ipotesi servano per dire che c'è una regione chiusa del piano in cui non ci sono punti del grafico di $f$. Quindi dimostrare che limitata sia sup. che inf. in questo senso non dovrebbe inficiare negativamente la dimostrazione.
Re: Equazioni di Cauchy
Concordo, però, se devo cercare un' ipotesi aggiuntiva, ne cerco una minimale.MATHia ha scritto:Spero di non sbagliarmi, però mi sembra semplicemente che dimostrando che è limitata sia superiormente che inferiormente, si dimostri qualcosa di più forte di "limitata inferiormente o superiormente".
In questo caso fph propone un'ipotesi che comprende anche quella proposta da wikipedia, al contrario quella di wikipedia non rende necessariamente vera quella di fph, quindi è minimale.
Se è così ci basta l'ipotesi di wikipedia, cioè "limitata superiormente O inferiormente", in quanto in tale intervallo esiste una regione libera dal grafico (superiormente o inferiormente al limite).Premetto che non ne so molto, però se ho capito qualcosa da questo topic( viewtopic.php?f=13&t=19526), mi sembra che queste ipotesi servano per dire che c'è una regione chiusa del piano in cui non ci sono punti del grafico di $f$. Quindi dimostrare che limitata sia sup. che inf. in questo senso non dovrebbe inficiare negativamente la dimostrazione.
Questa cosa la possiamo dare per scontato? E perchè "è così"?
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: Equazioni di Cauchy
Scusami, avevo capito che fossi perplesso sull'attendibilità di una dimostrazione in cui si dimostrasse $\mid f(x)\!\mid<M$, mentre chiaramente ho frainteso.
Non so dirti perché nel pdf si cerchi di dimostrare qualcosa di più difficile del necessario (a proposito, qual è il problema in questione?).
Non so dirti perché nel pdf si cerchi di dimostrare qualcosa di più difficile del necessario (a proposito, qual è il problema in questione?).
Penso proprio di sì, perché sono delle ipotesi cosiddette "bonus" per passare dalle Cauchy sui razionali alle Cauchy sui reali che vengono spiegate ad Algebra Basic al Senior e sono presenti anche nelle Schede Olimpiche, mentre sul perché "è così", non so aggiungere altre spiegazioni oltre a quelle del mio scorso post, anche se appunto non credo sia necessario conoscerle.wall98 ha scritto:Questa cosa la possiamo dare per scontato? E perchè "è così"?
Re: Equazioni di Cauchy
Tecnicamente mi sto interessando alla Cauchy perchè sto texando A1 del senior, e senza video alcuno non riuscivo a capire quale fosse l'ipotesi aggiuntiva che si stesse sfruttando.
Poi invece il pdf da cui ho preso questa ipotesi aggiuntiva si trova qui, verso la fine parla delle Cauchy.
Effettivamente le Schede Olimpiche mi sembra che diano ragione a Wiki e torto al Pdf, oppure non so leggere e sono io a sbagliare
Poi invece il pdf da cui ho preso questa ipotesi aggiuntiva si trova qui, verso la fine parla delle Cauchy.
Effettivamente le Schede Olimpiche mi sembra che diano ragione a Wiki e torto al Pdf, oppure non so leggere e sono io a sbagliare
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: Equazioni di Cauchy
Nei video di algebra del basic quando vengono trattate le equazioni funzionali se non sbaglio viene detto che Cauchy ha solo le soluzioni belle se il grafico di $ f $ non è denso. Quindi non credo sia necessario dimostrare che la funzione dell'esercizio sia anche limitata inferiormente o superioremente
Re: Equazioni di Cauchy
In quel problema lì la funzione è $h:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}_+$, per cui hai ben tre quadranti in cui il grafico di $f$ non passa, quindi questo dovrebbe bastare per dire che ci sono solo le soluzioni "belle" della Cauchy. Se lo vuoi dire in un altro modo, hai che $h(x)>0\,\,\forall x\in\mathbb{R}_+$, perciò $f$ è inferiormente limitata.
Non so, per scrupolo ho controllato nell'Engel, dove come ipotesi bonus viene messa (cito):wall98 ha scritto:Effettivamente le Schede Olimpiche mi sembra che diano ragione a Wiki e torto al Pdf, oppure non so leggere e sono io a sbagliare
Non so da dove derivi questa discrepanza...c) Let $f$ be bounded in [a,b], that is,
\begin{equation}
\mid f\!\mid<M \quad\text{for all $x\in[a,b]$}
\end{equation}
...
Ultima modifica di MATHia il 16 lug 2015, 00:19, modificato 1 volta in totale.
Re: Equazioni di Cauchy
Rispetto alla condizione sulla densità che citi, sì, mi sembra che basti dimostrare che ci sia una qualsiasi regione chiusa del piano non contenente punti del grafico della funzione. Quindi in questo caso, basta osservare che c'è almeno un quadrante senza punti del grafico.
Re: Equazioni di Cauchy
A questo punto cito le Schede Olimpiche (magari fraintendo):
Infatti volevo finire questo problema utilizzando proprio il fatto che fosse limitata inferiormente (non è mai negativa), a questo punto utilizzo il fatto che non è densa nel quarto quadrante (prima devo vedermi quel video del basic che non so davvero nulla di densità e simili).$f(x)$ è superiormente limitata in un intervallo, cioè esistono $a,b,M$ tali che $f(x)<M$ per ogni $a<x<b$ (idem se $f(x)$ è inferiormente limitata)
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: Equazioni di Cauchy
Allora, ci sono varie ipotesi che assicurano che una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ che sia additiva ($f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x,y\in\mathbb{R}$), sia in realtà lineare ($f(x)=ax$); le più gettonate, nell'ordine
A parte misurabile, che non sapete cosa voglia dire, e a parte monotona che è un po' slegata dal resto, il resto dovrebbe apparirvi in ordine di "generalità".
Ora, ovviamente se assumiamo i. è abbastanza facile dimostrare che $f(x)=ax$ per ogni $x$ reale (ogni reale è limite di razionali, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti e il valore di una funzione continua nel punto limite è il limite dei valori nei precedenti punti).
Anche supponendo la monotonia è facile dimostrare che $f$ è lineare sui reali.
Ora, assumendo iii. è più difficile, peggio ancora assumendo iv. ... e per dimostrarlo assumendo v. io so solo passare da iv.
Quindi, ovviamente in varie fonti sono date condizioni sufficienti diverse... tutte giuste, ma non tutte equivalenti. La versione di wikipedia e dell'enegel basta nella maggior parte dei casi, ma la cosa più potente che si possa dire è la condizione v. di cui sopra.
Chiaro?
PS: un insieme $A\subseteq \mathbb{R}^2$ è denso in $\mathbb{R}^2$ se per ogni punto $p\in\mathbb{R}^2$ e per ogni numero $\epsilon>0$ esiste un elemento $a\in A$ tale che la distanza tra $a$ e $p$ è minore di $\epsilon$; la sua negazione è che esiste un cerchietto (quindi un luogo del tipo $\{q\ :\ \mathrm{dist}(p,q)<r\}$ ) in cui $A$ non passa.
- $f$ continua
- $f$ monotona
- $f$ limitata o da sopra o da sotto su un qualche intervallo
- $f$ misurabile
- il grafico di $f$ non è denso in $\mathbb{R}^2$.
A parte misurabile, che non sapete cosa voglia dire, e a parte monotona che è un po' slegata dal resto, il resto dovrebbe apparirvi in ordine di "generalità".
Ora, ovviamente se assumiamo i. è abbastanza facile dimostrare che $f(x)=ax$ per ogni $x$ reale (ogni reale è limite di razionali, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti e il valore di una funzione continua nel punto limite è il limite dei valori nei precedenti punti).
Anche supponendo la monotonia è facile dimostrare che $f$ è lineare sui reali.
Ora, assumendo iii. è più difficile, peggio ancora assumendo iv. ... e per dimostrarlo assumendo v. io so solo passare da iv.
Quindi, ovviamente in varie fonti sono date condizioni sufficienti diverse... tutte giuste, ma non tutte equivalenti. La versione di wikipedia e dell'enegel basta nella maggior parte dei casi, ma la cosa più potente che si possa dire è la condizione v. di cui sopra.
Chiaro?
PS: un insieme $A\subseteq \mathbb{R}^2$ è denso in $\mathbb{R}^2$ se per ogni punto $p\in\mathbb{R}^2$ e per ogni numero $\epsilon>0$ esiste un elemento $a\in A$ tale che la distanza tra $a$ e $p$ è minore di $\epsilon$; la sua negazione è che esiste un cerchietto (quindi un luogo del tipo $\{q\ :\ \mathrm{dist}(p,q)<r\}$ ) in cui $A$ non passa.
Re: Equazioni di Cauchy
Quindi, volendo utilizzare la condizione iii. la funzione deve essere "limitata superiormente o inferiormente" oppure "limitata superiormente e inferiormente"?
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: Equazioni di Cauchy
Basta l'ipotesi più debole con superiormente o inferiormente.
Quando ho scritto quelle dispense la versione con il quadratino/cerchietto del piano, che è quella più generale e comoda da ricordare, non era ancora entrata nel folklore olimpico; sono passati parecchi anni. E così le Cauchy in generale, quindi non mi ero preoccupato troppo di darvi un'ipotesi ottimale. Dovessi riscriverle oggi, dimostrerei (ii) e claimerei (v).
Quando ho scritto quelle dispense la versione con il quadratino/cerchietto del piano, che è quella più generale e comoda da ricordare, non era ancora entrata nel folklore olimpico; sono passati parecchi anni. E così le Cauchy in generale, quindi non mi ero preoccupato troppo di darvi un'ipotesi ottimale. Dovessi riscriverle oggi, dimostrerei (ii) e claimerei (v).
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]