Equazioni di Cauchy

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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wall98
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Equazioni di Cauchy

Messaggio da wall98 » 15 lug 2015, 22:15

Una volta dimostrato che una funzione $\mathbb{R}: \longrightarrow \mathbb{R}$ è una Cauchy, per dimostrare che le uniche soluzione sono quelle belle eistono (da quel che ho letto) tre ipotesi aggiuntive da verificare:

-$f(x)$ è continua
-$f(x)$ è monotona (almeno in un intervallo)
-$f(x)$ è limitata superiormente o inferiormente (almeno in un intervallo)

Fonte

L'ultima condizione mi lascia perplesso, in quanto sul pdf di fph la limitatezza è espressa come $|f(x)|<M$ per ogni $x$ appartenente a un intervallo, quindi $f(x)$ è "limitata superiormente E inferiormente", mentre wikipedia dice "limitata superiormente O inferiormente".

Ha ragione fph o wikipedia?
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MATHia
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da MATHia » 15 lug 2015, 22:41

Spero di non sbagliarmi, però mi sembra semplicemente che dimostrando che è limitata sia superiormente che inferiormente, si dimostri qualcosa di più forte di "limitata inferiormente o superiormente".

Premetto che non ne so molto, però se ho capito qualcosa da questo topic( viewtopic.php?f=13&t=19526), mi sembra che queste ipotesi servano per dire che c'è una regione chiusa del piano in cui non ci sono punti del grafico di $f$. Quindi dimostrare che limitata sia sup. che inf. in questo senso non dovrebbe inficiare negativamente la dimostrazione.

wall98
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da wall98 » 15 lug 2015, 23:01

MATHia ha scritto:Spero di non sbagliarmi, però mi sembra semplicemente che dimostrando che è limitata sia superiormente che inferiormente, si dimostri qualcosa di più forte di "limitata inferiormente o superiormente".
Concordo, però, se devo cercare un' ipotesi aggiuntiva, ne cerco una minimale.
In questo caso fph propone un'ipotesi che comprende anche quella proposta da wikipedia, al contrario quella di wikipedia non rende necessariamente vera quella di fph, quindi è minimale.
Premetto che non ne so molto, però se ho capito qualcosa da questo topic( viewtopic.php?f=13&t=19526), mi sembra che queste ipotesi servano per dire che c'è una regione chiusa del piano in cui non ci sono punti del grafico di $f$. Quindi dimostrare che limitata sia sup. che inf. in questo senso non dovrebbe inficiare negativamente la dimostrazione.
Se è così ci basta l'ipotesi di wikipedia, cioè "limitata superiormente O inferiormente", in quanto in tale intervallo esiste una regione libera dal grafico (superiormente o inferiormente al limite).
Questa cosa la possiamo dare per scontato? E perchè "è così"?
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MATHia
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da MATHia » 15 lug 2015, 23:12

Scusami, avevo capito che fossi perplesso sull'attendibilità di una dimostrazione in cui si dimostrasse $\mid f(x)\!\mid<M$, mentre chiaramente ho frainteso.
Non so dirti perché nel pdf si cerchi di dimostrare qualcosa di più difficile del necessario (a proposito, qual è il problema in questione?).
wall98 ha scritto:Questa cosa la possiamo dare per scontato? E perchè "è così"?
Penso proprio di sì, perché sono delle ipotesi cosiddette "bonus" per passare dalle Cauchy sui razionali alle Cauchy sui reali che vengono spiegate ad Algebra Basic al Senior e sono presenti anche nelle Schede Olimpiche, mentre sul perché "è così", non so aggiungere altre spiegazioni oltre a quelle del mio scorso post, anche se appunto non credo sia necessario conoscerle.

wall98
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da wall98 » 15 lug 2015, 23:26

Tecnicamente mi sto interessando alla Cauchy perchè sto texando A1 del senior, e senza video alcuno non riuscivo a capire quale fosse l'ipotesi aggiuntiva che si stesse sfruttando.
Poi invece il pdf da cui ho preso questa ipotesi aggiuntiva si trova qui, verso la fine parla delle Cauchy.
Effettivamente le Schede Olimpiche mi sembra che diano ragione a Wiki e torto al Pdf, oppure non so leggere e sono io a sbagliare :mrgreen:
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da alegh » 15 lug 2015, 23:45

Nei video di algebra del basic quando vengono trattate le equazioni funzionali se non sbaglio viene detto che Cauchy ha solo le soluzioni belle se il grafico di $ f $ non è denso. Quindi non credo sia necessario dimostrare che la funzione dell'esercizio sia anche limitata inferiormente o superioremente

MATHia
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da MATHia » 15 lug 2015, 23:53

In quel problema lì la funzione è $h:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R}_+$, per cui hai ben tre quadranti in cui il grafico di $f$ non passa, quindi questo dovrebbe bastare per dire che ci sono solo le soluzioni "belle" della Cauchy. Se lo vuoi dire in un altro modo, hai che $h(x)>0\,\,\forall x\in\mathbb{R}_+$, perciò $f$ è inferiormente limitata.
wall98 ha scritto:Effettivamente le Schede Olimpiche mi sembra che diano ragione a Wiki e torto al Pdf, oppure non so leggere e sono io a sbagliare :mrgreen:
Non so, per scrupolo ho controllato nell'Engel, dove come ipotesi bonus viene messa (cito):
c) Let $f$ be bounded in [a,b], that is,
\begin{equation}
\mid f\!\mid<M \quad\text{for all $x\in[a,b]$}
\end{equation}
...
Non so da dove derivi questa discrepanza...
Ultima modifica di MATHia il 16 lug 2015, 00:19, modificato 1 volta in totale.

MATHia
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da MATHia » 15 lug 2015, 23:56

Rispetto alla condizione sulla densità che citi, sì, mi sembra che basti dimostrare che ci sia una qualsiasi regione chiusa del piano non contenente punti del grafico della funzione. Quindi in questo caso, basta osservare che c'è almeno un quadrante senza punti del grafico.

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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da wall98 » 16 lug 2015, 00:10

A questo punto cito le Schede Olimpiche (magari fraintendo):
$f(x)$ è superiormente limitata in un intervallo, cioè esistono $a,b,M$ tali che $f(x)<M$ per ogni $a<x<b$ (idem se $f(x)$ è inferiormente limitata)
Infatti volevo finire questo problema utilizzando proprio il fatto che fosse limitata inferiormente (non è mai negativa), a questo punto utilizzo il fatto che non è densa nel quarto quadrante (prima devo vedermi quel video del basic che non so davvero nulla di densità e simili).
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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da EvaristeG » 16 lug 2015, 00:16

Allora, ci sono varie ipotesi che assicurano che una funzione $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ che sia additiva ($f(x+y)=f(x)+f(y)$ per ogni $x,y\in\mathbb{R}$), sia in realtà lineare ($f(x)=ax$); le più gettonate, nell'ordine
  1. $f$ continua
  2. $f$ monotona
  3. $f$ limitata o da sopra o da sotto su un qualche intervallo
  4. $f$ misurabile
  5. il grafico di $f$ non è denso in $\mathbb{R}^2$.
Senza queste ipotesi possiamo solo dire che esiste $a\in\mathbb{R}$ tale che $f(q)=aq$ per ogni $q\in\mathbb{Q}$.

A parte misurabile, che non sapete cosa voglia dire, e a parte monotona che è un po' slegata dal resto, il resto dovrebbe apparirvi in ordine di "generalità".

Ora, ovviamente se assumiamo i. è abbastanza facile dimostrare che $f(x)=ax$ per ogni $x$ reale (ogni reale è limite di razionali, il limite di un prodotto è il prodotto dei limiti e il valore di una funzione continua nel punto limite è il limite dei valori nei precedenti punti).
Anche supponendo la monotonia è facile dimostrare che $f$ è lineare sui reali.
Ora, assumendo iii. è più difficile, peggio ancora assumendo iv. ... e per dimostrarlo assumendo v. io so solo passare da iv.

Quindi, ovviamente in varie fonti sono date condizioni sufficienti diverse... tutte giuste, ma non tutte equivalenti. La versione di wikipedia e dell'enegel basta nella maggior parte dei casi, ma la cosa più potente che si possa dire è la condizione v. di cui sopra.

Chiaro?

PS: un insieme $A\subseteq \mathbb{R}^2$ è denso in $\mathbb{R}^2$ se per ogni punto $p\in\mathbb{R}^2$ e per ogni numero $\epsilon>0$ esiste un elemento $a\in A$ tale che la distanza tra $a$ e $p$ è minore di $\epsilon$; la sua negazione è che esiste un cerchietto (quindi un luogo del tipo $\{q\ :\ \mathrm{dist}(p,q)<r\}$ ) in cui $A$ non passa.

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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da wall98 » 16 lug 2015, 01:52

Quindi, volendo utilizzare la condizione iii. la funzione deve essere "limitata superiormente o inferiormente" oppure "limitata superiormente e inferiormente"?
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

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Re: Equazioni di Cauchy

Messaggio da fph » 16 lug 2015, 08:24

Basta l'ipotesi più debole con superiormente o inferiormente.

Quando ho scritto quelle dispense la versione con il quadratino/cerchietto del piano, che è quella più generale e comoda da ricordare, non era ancora entrata nel folklore olimpico; sono passati parecchi anni. E così le Cauchy in generale, quindi non mi ero preoccupato troppo di darvi un'ipotesi ottimale. Dovessi riscriverle oggi, dimostrerei (ii) e claimerei (v).
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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