Floor and ceiling functions

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Rho33
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Floor and ceiling functions

Messaggio da Rho33 » 26 giu 2015, 00:13

Cercando in rete ho trovato molto poco su queste due funzioni che mi intrigano, soprattutto perchè non ho mai visto nessun esercizio risolto che le coinvolga e non saprei proprio da dove iniziare per attaccare un problema del genere, non conoscendone le proprietà. Potreste segnalarmi qualche link o dispensa che le tratti in modo abbastanza approfondito e che fornisca tecniche per risolvere problemi di tipo strettamente olimpico? Grazie :D

Talete
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Re: Floor and ceiling functions

Messaggio da Talete » 26 giu 2015, 00:46

Mah, secondo me (e io posso sbagliare) le floor and ceiling functions (= "pavimento" e "soffitto" ;) ) non capitano molto spesso.

Ti dirò, a memoria mia c'è l'esercizio del PreIMO 2013, il numero (combinazione alfanumerica?) A1, che era tra gli esercizi di ammissione al Senior l'anno scorso.

Puoi trovarlo qua sul forum: come ha scritto là darkcrystal, non ha molto a che fare con le parti intere; prova ad usare l'hint di darkcrystal e cerca di dimostrarlo, magari postando nel topic.

Mi sono ricordato mentre scrivevo del problema della lezione di Ballo ($\equiv$ Troleito Br00tal) al Senior dell'anno scorso, che diceva:

Dimostrare che per ogni $n\ge1$ si ha
\[\sum_{i=1}^n \phi(i)\left\lfloor\frac ni\right\rfloor =\binom{n+1}2.\]

Questo problema è veramente particolare: e neppure questo usa "veramente" le parti intere... infatti si fa con tante buone idee e del double counting... non ti consiglio di farlo, è tosto :D

Per trarre le conclusioni, i problemi con le parti intere sono molto rari, e quando càpitano non servono idee "da parti intere" ma altre tecniche.

Spero di esserti stato utile (e non aver sparato troppe scemenze).
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Rho33
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Re: Floor and ceiling functions

Messaggio da Rho33 » 26 giu 2015, 11:59

Grazie mille Talete per la risposta, effettivamente dalla rarità di questi esercizi avevo intuito la loro particolarità. Terminati, si spera, i problemi per il senior, approfondirò questo argomento e proverò a fare il problema del PreIMO, mentre il secondo forse è meglio lasciarlo stare per adesso :lol:

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