Reciprocità quadratica

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
polarized
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Reciprocità quadratica

Messaggio da polarized » 13 giu 2015, 14:59

Arrivato al secondo caso dell'N8 ho visto che viene invocata la reciprocità quadratica, cercando però tra i pdf del Senior 2014 non ne ho trovato traccia e in quello del 2013 solo un accenno
Ammesso che non abbia avuto degli abbagli (cosa tutta da verificare) dove posso trovare qualcosa su di essa? Ho trovato qualche dispensa universitaria che però spazia anche troppo oltre ciò che serve in ambito olimpico; avete qualche materiale, anche di senior precedenti, dal quale sia possibile studiare qualcosa?

Grazie in anticipo! :D
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angelo3
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da angelo3 » 13 giu 2015, 16:11

io avevo trovato su simbolo di legendre o su reciprocità quadratica la definizione della legge di reciprocità quadratica e mi bastava per scrivere la soluzione del problema. Comunque non conosco dispense o materiale dal quale puoi studiare qualcosa
Angelo

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Drago96
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da Drago96 » 13 giu 2015, 16:55

Mi pare di ricordare che in qualche senior un po' più vecchio si dimostrasse tutto, ma non saprei dove...
Poi c'è qualcosina nel capitolo 7 di questa dispensa (molto bella in generale), sperando possa bastare...
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da EvaristeG » 13 giu 2015, 17:30

Beh non mi sembra che ti serva la reciprocità quadratica, ma solo la definizione del simbolo di Legendre e il fatto che
$$\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}\mod p$$

polarized
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da polarized » 13 giu 2015, 20:03

@EvaristeG Ma come dimostro che esiste un primo $p$ tale che ci sia $\displaystyle\left(\frac{p_1}{p}\right)=-1$ con $p_1\mid a \land p_1\not \mid b$ mentre per tutti gli altri primi che dividono sia a che b si abbia $\displaystyle\left(\frac{p_i}{p}\right)=1$?
Grazie comunque a Drago (molto bella la dispensa) e ad angelo, magari è sì sufficiente sapere la definizione, però sto cercando di fare in modo che anche nel caso non dovessi passare al Senior questi esercizi mi vengano utili, cercando di studiare ciò che uso in modo vagamente approfondito

Grazie in anticipo a tutti :)
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da EvaristeG » 13 giu 2015, 22:24

Qui, verso la fine.

polarized
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da polarized » 14 giu 2015, 09:54

Grazie mille!
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da Batman » 10 lug 2015, 14:08

Salve, qualcuno può chiarirmi un passaggio di questa dimostrazione? A me sembra che qualcosa non torni, poiché c'è anche il caso in cui l'unico primo p1 che divide 2a ma non divide b è 2 ma in tal caso non esiste un non residuo quadratico modulo p1...qualcuno sa aiutarmi? Grazie!

polarized
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da polarized » 10 lug 2015, 14:36

Batman ha scritto:Poiché c'è anche il caso in cui l'unico primo p1 che divide 2a ma non divide b è 2 ma in tal caso non esiste un non residuo quadratico modulo p1
Perchè? :?:
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da Batman » 10 lug 2015, 15:19

polarized ha scritto:
Batman ha scritto:Poiché c'è anche il caso in cui l'unico primo p1 che divide 2a ma non divide b è 2 ma in tal caso non esiste un non residuo quadratico modulo p1
Perchè? :?:
Beh potremmo avere
2a = 2*(m^2)*p1p2p3
b= n^2*p1p2p3
In tal caso dovremmo scegliere 2 come primo che divide 2a ma non b ma non esistono numeri non residui quadratici modulo 2 (poiché 0 e 1 sono residui)
Mi sbaglio?

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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da cip999 » 10 lug 2015, 20:57

Beh sì, quell'ultima parte va un po' aggiustata... Vedila così: hai un insieme di primi $p_1, \: p_2, \: \cdots, \: p_k$, e vuoi trovare un primo $p$ che soddisfi condizioni del tipo
$$\left(\frac{p_i}{p}\right) = c_i \qquad \text{per} \; i = 1, \: \cdots, \: k$$
dove $c_i = \pm 1$, a seconda della necessità (vogliamo avere $\displaystyle \left(\frac{2a}{p}\right) = -1$ e $\displaystyle \left(\frac{b}{p}\right) = 1$). Ora, ci piacerebbe impostare un sistema di congruenze del tipo
$$\begin{cases} p \equiv a_1 & \pmod{m_1} \\ p \equiv a_2 & \pmod{m_2} \\ \cdots \\ p \equiv a_t & \pmod{m_t} \end{cases}$$
dove gli $a_i$ e gli $m_i$ sono interi opportuni, di modo che questo sistema implichi le condizioni di cui sopra (i simboli di Legendre). Inoltre, vorremmo anche che:
  1. Questo sistema avesse soluzioni... quindi?
  2. Esistesse una soluzione del sistema che fosse un primo.
Ora tutto sta nello scegliere $a_i$ ed $m_i$ che rendano vere tutte queste cose... :)
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da polarized » 10 lug 2015, 21:14

Batman ha scritto:
polarized ha scritto:
Batman ha scritto:Poiché c'è anche il caso in cui l'unico primo p1 che divide 2a ma non divide b è 2 ma in tal caso non esiste un non residuo quadratico modulo p1
Perchè? :?:
Beh potremmo avere
2a = 2*(m^2)*p1p2p3
b= n^2*p1p2p3
In tal caso dovremmo scegliere 2 come primo che divide 2a ma non b ma non esistono numeri non residui quadratici modulo 2 (poiché 0 e 1 sono residui)
Mi sbaglio?
Magari sbaglio, ma il punto è che devi trovare un primo per cui stiano in piedi tutte le congruenze, e non deve necessariamente dividere $2a$ o $b$; (anzi, probabilmente non deve farlo). Se $a$ ha gli stessi fattori primi di $b$ rientri nel caso generale analizzato nel video, il perchè prova a dirmelo tu

Ovviamente correggetemi se sbaglio :)
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da Batman » 10 lug 2015, 21:45

@cip999
sono d'accordo sull'impostare il sistema di congruenze: io lo volevo impostare con i vari mi che sono i primi delle espressioni p1p2p3...pk e q1q2q3...qk mentre gli ai sono 1 o di (dove di indica un non residuo modulo mi). Poi bisogna imporre p congruo a 1 mod 4 (scusate non so scrivere i simboli matematici :roll: ) per potere rovesciare i simboli di Legendre: ma con p=2 sorgono problemi o no?

@polarized: non capisco bene, perché a e b non potrebbero avere gli stessi fattori? è la quantità 2ab che non è un quadrato, ma ab può esserlo...
grazie per le risposte!

cip999
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da cip999 » 10 lug 2015, 21:52

Sì, bene, e ora supponiamo che tra le varie condizioni ci sia $\displaystyle \left(\frac{2}{p}\right) = \pm 1$. Qui reciprocità non funziona, vale solo per i primi dispari... Però quanto vale $\displaystyle \left(\frac{2}{p}\right)$? C'è una formula esplicita tipo criterio di Eulero? Quale condizione ulteriore devi imporre perché sia soddisfatta anche questa?
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Re: Reciprocità quadratica

Messaggio da Batman » 10 lug 2015, 22:00

ti riferisci alla formula indicata al punto 5 delle proprietà?
https://it.wikipedia.org/wiki/Simbolo_di_Legendre
Devo ammettere che non la conoscevo...

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