Baricentriche!

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
EvaristeG
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Re: Baricentriche!

Messaggio da EvaristeG » 13 giu 2015, 13:11

La circoscritta

Come recentemente scoperto qui, si ha che l'area del triangolo pedale di un punto $P$ è proporzionale a $|OP^2-R^2|/R^2$. Ora invece consideriamo un punto $P$ e le sue proiezioni $D$, $E$, $F$ su $BC$, $CA$, $AB$ rispettivamente; poniamo $p=DP$, $q=EP$, $r=FP$ (distanze con segno, as usuale) e notiamo che l'area del triangolo $DEP$, opportunamente orientata rispetto a quella del triangolo $DEF$, è data da
$$[DEP]=\dfrac{1}{2}DP\cdot EP\cdot \sin(\widehat{DPE})=\dfrac{1}{2}pq\sin\gamma=\dfrac{1}{2}xy\dfrac{c}{2R}=\dfrac{1}{4R}cpq=\dfrac{c}{4R}\dfrac{2[BCP]}{a}\dfrac{2[CAP]}{b}=\dfrac{c^2[BCP][CAP]}{Rabc}$$
e dunque
$$[DEF]=\dfrac{1}{Rabc}(c^2[BCP][CAP]+b^2[BCP][ABP]+a^2[CAP][ABP])$$

Mettendo insieme questi due risultati per l'area di $[DEF]$,abbiamo che $OP=OR$ se e solo se $[DEF]=0$ se e solo se $c^2[BCP][CAP]+b^2[BCP][ABP]+a^2[CAP][ABP]$ se e solo se
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy=0$$
dove $[x:y:z]$ sono le coordinate baricentriche di $P$. Questa è dunque l'equazione della circonferenza circoscritta al triangolo $ABC$.

Fatto 9 La tangente alla circoscritta in un suo punto $P=[u:v:w]$ è data da
$$a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0\;.$$
Dim: La tangente è l'unica retta per $P$ che non incontra ulteriormente la circonferenza. Dunque vogliamo dimostrare che il sistema
$$(\clubsuit) \qquad\left\{\begin{array}{rcl}a^2yz+b^2xz+c^2xy&=&0\\a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)&=&0\end{array}\right.$$
ha come unica soluzione $[u:v:w]$ (sapendo che tale terna è soluzione anche della prima equazione). Per farlo, sostituiamo
$$x=u+X,\quad y=v+Y,\quad z=w+Z$$
dimenticandoci delle coordinate baricentriche e vendendoci completamente all'algebra.
Otteniamo (provare per credere!)
$$(\diamondsuit) \qquad\left\{\begin{array}{rcl}a^2YZ+b^2XZ+c^2XY+a^2(vZ+Yw)+b^2(uZ+Xw)+c^2(uY+Xv)&=&0\\a^2(vZ+Yw)+b^2(uZ+Xw)+c^2(uY+Xv)&=&0\end{array}\right.$$
che è ovviamente equivalente a $(\clubsuit)$. Dunque, se $[p:q:r]$ è una soluzione di $(\clubsuit)$ diversa da $[u:v:w]$, allora tutte le terne $(\lambda p, \lambda q, \lambda r)$ sono soluzioni di $(\diamondsuit)$ e, ripercorrendo indietro la sostituzione, tutte le terne $[u+\lambda p:v+\lambda q:w+\lambda r]$ sono soluzioni di $(\clubsuit)$.
Al variare di $\lambda$, queste ultime sono tutte terne omogenee diverse: se infatti
$$\dfrac{u+\lambda p}{v+\lambda q}=\dfrac{u+\mu p}{v+\mu q}$$
allora $uv+\mu uq+\lambda vp+\lambda \mu pq=uv+\mu vp+\lambda uq + \lambda\mu qp$ ovvero $\lambda (vp-uq)=\mu(vp-uq)$ e similmente confrontando le altre coordinate. Quindi, se $\lambda\neq \mu$, l'unica possibilità per cui questi valori diano la stessa terna omogenea è che $vp-uq=wp-ur=wq-vr=0$, ma questo succede se e solo se $[u:v:w]=[p:q:r]$.
D'altra parte, se scegliamo $p$, $q$, $r$ di modo che $p+q+r=u+v+w$ (e possiamo! perché?), possiamo interpretare $[u+\lambda p:v+\lambda q: w+\lambda r]$ come la retta che passa per i punti $[u:v:w]$ e $[p:q:r]$. Dunque, se esiste una soluzione a $(\clubsuit)$ diversa da $[u:v:w]$, tutti i punti della retta per le due soluzioni sono soluzioni, ovvero la circonferenza circoscritta contiene una retta, che è assurdo. Dunque l'unica soluzione è $[u:v:w]$. :!:

Esercizio 31 Scrivere le tangenti alla circoscritta nei seguenti punti:
  • i vertici
  • i punti medi degli archi $AB$, $BC$, $CA$
  • i simmetrici di $H$ rispetto ai lati
  • i simmetrici di $H$ rispetto ai punti medi dei lati
  • il simmetrico di $A$ rispetto al diametro perpendicolare a $BC$
Esercizio 32 Sia $D$ l'intersezione delle tangenti per $B$ e $C$, siano $E$, $F$ similmente definiti; dimostrare che $AD$, $BE$, $CF$ concorrono e calcolare le coordinate del punto di concorrenza. (sì, di nuovo)
Esercizio 33 Sia $P=[-a^2(b+c)^2:b^2(b^2+c^2):c^2(b^2+c^2)]$. Verificare che $P$ non sta sulla circonferenza circoscritta e, dette $[u:v:w]$ le sue coordinate, considerare la retta
$$a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0\;,$$
determinando le sue intersezioni con la circoscritta, se esistono. Chiamate $X$, $Y$ tali intersezioni, calcolare le tangenti in $X$ e in $Y$ e trovare la loro intersezione.

Polari e poli

Dato un punto $P=[u:v:w]$ la retta $a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0$ si dice polare di $P$ rispetto alla circonferenza circoscritta e, se indichiamo con $\Gamma$ la circoscritta, tale retta viene di solito indicata con $\textrm{pol}_\Gamma(P)$. Abbiamo visto una prima proprietà di questa retta:

Fatto 9+ Se $P\in\Gamma$, $\textrm{pol}_\Gamma(P)$ è la retta tangente a $\Gamma$ passante per $P$.

Vediamo alcune altre proprietà.

Fatto 10 $Q\in\textrm{pol}_\Gamma(P)$ se e solo se $P\in\textrm{pol}_\Gamma(Q)$.
Dim: Siano $P=[u:v:w]$ e $Q=[p:q:r]$. Quindi
$$(1)\qquad\textrm{pol}_\Gamma(P)=\{a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0\}$$
$$(2)\qquad \textrm{pol}_\Gamma(Q)=\{a^2(qz+yr)+b^2(pz+xr)+c^2(py+xq)=0\}\;.$$
Allora
$$Q\in\textrm{pol}_\Gamma(P)\Leftrightarrow a^2(vr+qw)+b^2(ur+pw)+c^2(uq+pv)=0\Leftrightarrow P\in\textrm{pol}_\Gamma(Q)$$
in quanto sostituendo nella formula $(1)$ le coordinate di $Q$ e nella formula $(2)$ le coordinate di $P$ si ottiene esattamente la stessa equazione. :!:

Fatto 11 $\textrm{pol}_\Gamma(P)$ incontra $\Gamma$ in $D$, $E$ se e solo se le tangenti a $\Gamma$ in $D$, $E$ si intersecano in $P$.
Dim: $D\in\textrm{pol}_\Gamma(P)$ sse $P\in\textrm{pol}_\Gamma(D)$ per il fatto 10, ma la seconda retta è, per il fatto 9+, la tangente a $\Gamma$ in $D$. Quindi due punti $D$, $E$ di $\Gamma$ stanno sulla polare di $P$ se e solo se le tangenti a $\Gamma$ in $D$, $E$ contengono $P$. :!:

Fatto 12 Sia $r$ una qualunque retta per $P$ che incontri $\Gamma$ in $D$, $E$, allora l'intersezione delle tangenti in $D$, $E$ sta sulla polare di $P$.
Dim: Sia $Q$ l'intersezione delle tangenti in $D$, $E$, allora $\textrm{pol}_\Gamma(Q)=r$, per il fatto 11, e dunque $P\in\textrm{pol}_\Gamma(Q)$, ma allora il fatto 10 implica che $Q\in\textrm{pol}_\Gamma(P)$. :!:

Fatto 13 Se $\textrm{pol}_\Gamma(P)=\{lx+my+nz=0\}$ allora $P=[-a^4l+b^2a^2 m+c^2a^2n:a^2b^2l-b^4m+c^2b^2 n: c^2a^2l+c^2b^2m-c^4n]$.
Dim: Se $P=[u:v:w]$, allora la polare è
$$a^2(vz+yw)+b^2(uz+xw)+c^2(uy+xv)=0$$
ovvero
$$x(b^2w+c^2v)+ y(a^2w+c^2u)+z(a^2v+b^2u)=0$$
Dunque vogliamo che $[l:m:n]=[b^2w+c^2v:a^2w+c^2u:a^2v+b^2u]$, che è equivalente a risolvere il sistema
$$\left\{\begin{array}{rcl}b^2w+c^2v&=&kl\\a^2w+c^2u&=&km\\a^2v+b^2u&=&kn\end{array}\right.$$
per un qualche $k$, nelle incognite $u,v,w$. Chiamando $L_1,\ L_2,\ L_3$ i tre LHS, vediamo che
$$a^2L_1+b^2L_2-c^2L_3=2a^2b^2w$$
e similmente per le altre variabili. Dunque, poniamo $k=2a^2b^2c^2$ e otterremo
$$2a^2b^2w=2a^2b^2c^2(a^2l+b^2m-c^2n)$$
ovvero $w=c^2a^2l+c^2b^2m-c^4n$ e similmente per le altre variabili. :!:

Osservazione L'aver fissato $k$ a quel particolare valore non è necessario per risolvere il sistema, che può essere risolto parametricamente in $k$ oppure fissando $k=1$ o qualsiasi altro valore. Tanto, alla fine, ci importa solo della terna omogenea delle soluzioni: soluzioni per diversi valori di $k$ sono proporzionali con una costante che, per l'appunto, è $k$. Il valore $k=2a^2b^2c^2$ serve solo per non far comparire denominatori.

Esercizio 34 Calcolare il polo delle seguenti rette
  • altezza per $A$
  • simmediana per $A$
  • bisettrice interna per $A$
  • mediana per $A$
  • retta di Eulero
  • asse ortico
Esercizio 35 Trovare tre punti $P_1,\ P_2,\ P_3$ che formino un triangolo autopolare, ovvero tali che $\textrm{pol}_\Gamma(P_i)=P_jP_k$ per ogni scelta di $i,j,k$.
Esercizio 36 Dimostrare che $3$ punti sono allineati se e solo se le loro tre polari concorrono.
Esercizio 37 Trovare un controesempio al precedente esercizio.

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Re: Baricentriche!

Messaggio da Talete » 19 giu 2015, 11:19

Questo topic si è fermato perché la parola "polare" è troppo complicata oppure perché state cercando di fare gli esercizî per il Senior?

In ogni caso:

Esercizio 31. Ho fatto solo per i vertici, ché servono nell'esercizio dopo (mettiamola così: io quest'esercizio non l'ho fatto ma mi servivano le formule delle tangenti ai vertici ;) ):

Facciamolo per il vertice $A$:
\[a^2(0z+0y)+b^2(0x+1z)+c^2(1y+0x)=0 \Rightarrow b^2z+c^2y=0.\]
Quindi avremo per il vertice $B$ la tangente $a^2z+c^2x=0$ e per il vertice $C$ la tangente $a^2y+b^2x=0$.

Esercizio 32. Ok, intersechiamone due, quello da $B$ e quello da $C$ per trovare $D$:
\[z=-x\cdot \frac{c^2}{a^2},\hspace{1cm}y=-x\cdot \frac{b^2}{a^2}.\]
Quindi il punto è $[1:-c^2/a^2:-b^2/a^2]=[-a^2:b^2:c^2]$.

Similmente avremo $E=[a^2:-b^2:c^2]$ ed $F=[a^2:b^2:-c^2]$.

Dimostriamo ora che $AD$, $BE$ e $CF$ concorrono nel punto $L=[a^2:b^2:c^2]$. Per dimostrarlo basta mostrare che $A$, $L$ e $D$ sono allineati (gli altri si fanno similmente). Faccio il determinante:
\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ a^2&b^2&c^2\\ -a^2&b^2&c^2\end{array}\right)=b^2c^2-b^2c^2=0.\]
È venuto $0$, quindi sono allineati. Altrimenti si poteva scrivere la simmediana per $A$ ($b^2z=c^2y$) e notare che $D$ le appartiene.

Esercizio 13. Questo è indietro da un bel po', ma mi pare interessante. Chiedeva di calcolare $O$ e $H$ con la trigonometria.

Iniziamo con $H$: sia $H_a$ il piede dell'altezza da $A$. Il rapporto $[ABH_a]/[CAH_a]$ vale chiaramente $BH_a/CH_a$ (come segmenti). Usando ora la ben nota formula $BH_a=AH_a \tan\gamma$ (è il teorema dei seni) e l'altra ben nota formula $CH_a=AH_a\tan\beta$ ottengo che $H_a=[0:\tan\beta:\tan\gamma]$. Ciclando il ragionamento troviamo dunque $H=[\tan\alpha:\tan\beta:\tan\gamma]$.

Ora facciamo $O$: il triangolo $ABO$ è isoscele su base $AB$ e l'angolo compreso è $\pi-2\gamma$. L'area $[ABO]$ vale dunque, detto $R$ il raggio della circoscritta, $\frac{R^2}2\sin(\pi-2\gamma)$. Ciclando il ragionamento, $O=[\sin(\pi-2\alpha):\sin(\pi-2\beta):\sin(\pi-2\gamma)]$. Ora, $\sin(\pi-\theta)=\cos\theta$ e quindi $O=[\cos2\alpha:\cos2\beta:\cos2\gamma]$.

Vanno bene? ;)
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Re: Baricentriche!

Messaggio da EvaristeG » 19 giu 2015, 12:33

Giusta la trigonometria.
Per la concorrenza, bastava ricordare quanto detto qui sui triangoli perspettici :D

Talete
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Re: Baricentriche!

Messaggio da Talete » 20 giu 2015, 01:28

Che bello! Finalmente sono riuscito a postare in questo topic senza fare errori! :D
Adesso rimedio mettendone un po' in questi altri esercizî:

Risolvo finalmente l'esercizio del coniugato isogonale: dato che è già stato risolto in via metrica, ne do una dimostrazione usando la trigonometria:
sia $P=[u:v:w]$ un punto e $Q=[p:q:r]$ un altro punto. Voglio trovare una formula per le coordinate di $Q$ usando i lati di $ABC$ e le coordinate di $P$.
Sia $P_a=[0:v:w]$ il piede della ceviana $AP$ e sia $Q_a=[0:q:r]$ il piede della ceviana $AQ$. Allora, detto $\vartheta:=\widehat{BAP_a}=\widehat{CAQ_a}$ posso scrivere
\[\frac vw=\frac{\sin\gamma\cdot\sin\vartheta}{\sin\beta\cdot\sin(\alpha-\vartheta)}.\]
Ora, posso scrivere anche
\[\frac qr=\frac{\sin\beta\cdot\sin(\alpha-\vartheta)}{\sin\gamma\cdot\sin\vartheta}=\frac{\sin^2\beta}{\sin^2\gamma}\cdot \frac wv= \frac{b^2/v}{c^2/w}.\]
In tutte queste uguaglianze ho usato solo il teorema dei seni applicato ai triangoli $AP_aB$, $AP_aC$, $AQ_aB$, $AQ_aC$ e, per finire, $ABC$.
Ho trovato dunque $Q_a=[0:\frac{b^2}v:\frac{c^2}w]$ e cicliche, che mi portano a $Q=[\frac{a^2}u:\frac{b^2}v:\frac{c^2}w]$.

Esercizio 36. (premetto che lo svolgo solo perché voglio scrivere la soluzione dell'esercizio 37, e mi sembra sgarbato trovare un controesempio ad un fatto che non ho dimostrato ;) )

Siano $P_i=[x_i,y_i,z_i]$ con $i\in\{1,\ldots,3\}$ i tre punti. Siccome sono allineati, devo avere:
\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{array}\right)=0.\]
Le tre polari sono $\mathrm{pol}_\Gamma(P_i):a^2(yz_i+y_iz)+b^2(zx_i+xz_i)+c^2(xy_i+x_iy)=0$.
Per avere le tre polari concorrenti dovrei avere:
\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}b^2z_1+c^2y_1&c^2x_1+a^2z_1&a^2y_1+b^2x_1\\b^2z_2+c^2y_2&c^2x_2+a^2z_2&a^2y_2+b^2x_2\\b^2z_3+c^2y_3&c^2x_3+a^2z_3&a^2y_3+b^2x_3\end{array}\right)=0.\]
Ora, io non so quasi nulla di algebra lineare quindi metto sotto spoiler tutte le scemenze che sto per dire:
Testo nascosto:
Boh, considero i seguenti vettori in $\mathbb{R}^3$: $v_x=(x_1,x_2,x_3)$ e similmente $v_y$ e $v_z$. Da quel poco che so, il determinante è nullo se e solo se uno dei tre vettori è "combinazione lineare" degli altri due quindi $v_x$, $v_y$ e $v_z$ non sono linearmente indipendenti. Ma ora considero altri vettori in $\mathbb{R}^3$: le tre colonne della matrice "grande", e questi vettori sono combinazioni lineari di $v_x$, $v_y$ e $v_z$ e quindi posso scrivere le tre colonne della matrice "grande" usando solo due vettori tra $v_x$, $v_y$ e $v_z$ (per quanto detto prima): ordunque, una delle tre colonne è combinazione lineare delle altre, quindi il determinante è nullo.
Ok potete spararmi. Comunque, una soluzione alternativa è fare i conti :D

Esercizio 37. Prendiamo un punto $P_1$ con polare $r_1$ e prendiamo una retta ad essa parallela $r_2$ con polo $P_2$. Allora, preso un terzo punto $P_3$ sulla retta per $P_1$ e $P_2$, la sua polare $r_3$ non potrà intersecare $r_1$ ed $r_2$ in due punti distinti per quanto detto prima, e quindi "concorrerà con $r_1$ ed $r_2$ all'infinito" o, per parafrasare, sarà parallela a $r_1$ ed $r_2$.

Impossibilmente avrò scritto un altro post con della roba giusta sopra, quindi do il via ai suggerimenti ed alle critiche ;)
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Re: Baricentriche!

Messaggio da Talete » 02 lug 2015, 12:17

E se tipo qualcun altro venisse qui a risolvere alcuni esercizî di modo che il forum si ripopoli e magari questo corso sulle baricentriche possa continuare fes? ;)
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Re: Baricentriche!

Messaggio da Nemo » 29 lug 2015, 00:35

Talete ha scritto:Ora, \(\sin (π−θ)=\cos θ\) e quindi \(O=[\cos 2α : \cos 2β : \cos 2γ]\).
Talete, ricorda che \(\sin (π−θ)=\sin θ\) ! E quindi \(O=[\sin 2α : \sin2β : \sin 2γ]\) :wink:
cip999 ha scritto:Esercizio 18
$$S_{\theta/2}^2 = S^2\cot^2\theta/2 = S^2\frac{\cos^2\theta/2}{\sin^2\theta/2} = S^2\frac{\frac{1 + \cos\theta}{2}}{\frac{1 - \cos\theta}{2}} = S^2\frac{1 + \cos\theta}{1 - \cos\theta} = \\ = S^2\frac{1 + \frac{1}{1 + \tan\theta}}{1 - \frac{1}{1 + \tan\theta}} = S^2\frac{2 + \tan\theta}{\tan\theta} = 2S^2\cot\theta + S^2 = 2SS_\theta + S^2 \\ \implies S_{\theta/2} = \pm \sqrt{2SS_\theta + S^2}$$ Il post originale è qui
Cip999, l'uguaglianza tra l'ultimo termine della prima riga e il primo della seconda non regge. Per non impelagarti in capziose formule trigonometriche potresti utilizzare la relazione tra \(S_{2θ}\) e \(S_θ\) che hai trovato in precedenza. :wink:

Correggetemi se sbaglio!
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Re: Baricentriche!

Messaggio da EvaristeG » 11 set 2015, 16:24

Verso l’infinito, ma non oltre

A seguito del famigerato esercizio 37, sappiamo che c’è del marcio in Danimarca.

La dimostrazione data da Talete dell’esercizio 36 ha come unica condizione per funzionare che nessuno dei tre punti sia $[0:0:0]$ (che non ha il minimo senso come punto). Quindi perché non funziona con i poli di rette parallele? L’algebra, in fondo, è il patto faustiano proposto dal Diavolo al matematico:
The Devil ha scritto:I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine.
E dunque arrendiamoci all’Oscurità. Alla fine, noi non usiamo il “piano” con “punti” e “rette”, ma questo:
$$\{[l:m:n]\ :\ l,m,n\ \textrm{non tutti nulli}\}$$
e qui dentro possiamo fare tutti i conti che abbiamo fatto finora. Le rette sono i luoghi di zeri del tipo
$$\{[x:y:z]\ :\ ux+vy+wz=0\}$$
e c’è una retta che finora è stata volutamente evitata, ovvero $x+y+z=0$. Del resto, algebricamente, è una retta come le altre. Per aggrapparci ancora ad uno scampolo di dignità, la chiamiamo retta, sì, ma retta all’infinito.

I suoi punti sono punti all’infinito. Ad esempio $[1:-1:0]$ è un punto all’infinito, intersezione di questa retta e del lato $AB$ ovvero $z=0$.
Che succede se prendiamo il fascio di rette per quel punto? Queste saranno $\lambda(x+y)+\mu z=0$ al variare della coppia omogenea $[\lambda:\mu]$; a $[0:1]$ corrisponde il lato $AB$, a $[1:1]$ corrisponde la retta all’infinito. Quale retta corrisponde a $[1:0]$? Beh, $x+y=0$ è una retta che passa per $C=[0:0:1]$ e interseca $z=0$ nel punto $[1:-1:0]$ che non denota nessun punto del piano, quindi $x+y=0$ è una retta per $C$ che non incontra $AB$, ovvero è la parallela ad $AB$ passante per $C$.

Fatto 14 Due rette sono parallele se e solo se le loro equazioni in baricentriche hanno come soluzione comune un punto della retta all’infinito $x+y+z=0$.

Esercizio 38 Calcolare i punti all'infinito delle seguenti rette
  • i lati
  • le altezze
  • le ceviane di $O$
  • la retta di Eulero
  • l'asse ortico
  • le mediane
  • le bisettrici (interne ed esterne)
  • la retta di Nagel
Esercizio 39 Per le seguenti coppie retta,punto trovare la parallela alla retta per il punto.
  • $BC$, $H$
  • $AH$, $O$
  • la tangente alla circoscritta in $A$, $G$
  • $H_bH_c$, $G$ ($H_aH_bH_c$ è il triangolo ortico)
  • $AI$, $K$ (punto di Lemoine)
Esercizio 40 Dati $P$, $P'$ su $AB$ e $Q$, $Q'$ su $AC$, le rette $PQ$ e $P'Q'$ si dicono antiparallele (rispetto all'angolo $A$) se $\widehat{APQ}=\widehat{AQ'P'}$. Sapendo che $PQ$ ha equazione $ux+vy+wz=0$, determinare il punto all'infinito dell'antiparallela $P'Q'$.

Tutto quello che abbiamo fatto finora con punti e rette funziona ancora (per vili motivi algebrici) con retta all'infinito e punti all'infinito. Anche poli e polari rispetto alla circonferenza circoscritta continuano a funzionare, ed anzi, il quadro si completa.

Fatto 15 La polare di $O$ rispetto alla circonferenza circoscritta $\Gamma$ è la retta all'infinito. Il polo di una retta per $O$ è un punto all'infinito.

Dim: Il circocentro ha coordinate
$$[a^2(b^2+c^2-a^2):\textrm{cyc}:\textrm{cyc}]$$
e dunque la sua polare rispetto a $\Gamma$ è
$$0=\sum_{\textrm{cyc}}a^2(b^2(a^2+c^2-b^2)z+c^2(a^2+b^2-c^2)y)=\sum_{\textrm{cyc}}a^4b^2z+a^2b^2c^2z-b^4a^2z+a^4c^2y+a^2b^2c^2y-c^4a^2y$$
ora, i termini $a^4b^2z$ e $c^4a^2y$ si ottengono l'uno dall'altro ciclando e hanno segni opposti, quindi si elidono nella somma finale; stesso discorso per $b^4a^2z$ e $a^4c^2y$. Quindi tale somma è pari a $2\sum_{\textrm{cyc}}a^2b^2c^2z=2(a^2b^2c^2)(x+y+z)$, ovvero, la polare cercata è $r_\infty=\{x+y+z=0\}$.
D'altra parte, se $O\in r$, allora $\textrm{pol}_\Gamma(r)\in\textrm{pol}_\Gamma(O)=r_\infty$. :!:


Fatto 16 Sia $PQ$ un diametro di $\Gamma$. Allora $\textrm{pol}_\Gamma(PQ)$ è il punto all'infinito della retta perpendicolare a $PQ$.

Dim: Segue immediatamente dal Fatto 11 ($\textrm{pol}_\Gamma(PQ)=\textrm{pol}_\Gamma(P)\cap\textrm{pol}(Q)$ e queste ultime sono le tangenti in $P$, $Q$ alla circoscritta che sono ovviamente perpendicolari a $PQ$, dunque parallele, ergo la loro intersezione sta su $r_\infty$. :!:

Esplicitiamo l'osservazione del Fatto 16. Consideriamo una retta $lx+my+nz=0$ e determiniamone il punto all'infinito; esso è l'intersezione con $x+y+z=0$, quindi $[n-m:l-n:m-l]$. Ora, calcoliamone la polare:
$$\sum_{\textrm{cyc}}a^2((l-n)z+(m-l)y)=0$$
e intersechiamola con la retta all'infinito, ottenendo (usando ad esempio i determinanti)
$$[a^2(m-l)+c^2(n-m)-a^2(l-n)-b^2(n-m):\textrm{cyc}:\textrm{cyc}]=[S_B(l-n)-S_C(m-l):\textrm{cyc}:\textrm{cyc}]\;.$$
Da questo otteniamo il seguente fatto.

Fatto 17 Le rette perpendicolari alla retta $lx+my+nz=0$ (che ha punto all'infinito $[n-m:l-n:m-l]$) passano per il punto all'infinito $[S_B(l-n)-S_C(m-l):\textrm{cyc}:\textrm{cyc}]$. Equivalentemente, due rette che hanno punti all'infinito $[u_1:v_1:w_1]$ e $[u_2:v:_2:w_2]$ sono perpendicolari se e solo se $S_Au_1u_2+S_Bv_1v_2+S_Cw_1w_2=0$.

Dim: La prima affermazione è appena stata dimostrata. Per la seconda, basta fare il conto. :!:

Esercizio 41 Trovare l'ortocentro del triangolo ortico.
Esercizio 42 Trovare il circocentro del triangolo formato dalle tangenti alla circoscritta in $A$, $B$, $C$.
Esercizio 43 Trovare la tangente alla circonferenza di Feuerbach nel punto medio di $BC$.

Fatto 18 Il triangolo pedale del punto $P=[u:v:w]$ è dato dai punti
$$P_1=[0:S_Cu+a^2v:S_Bu+a^2w]\quad P_2=[S_Cv+b^2u:0:S_Av+b^2w]\quad P_3=[S_Bw+c^2u:S_Aw+c^2v:0]$$

Dim: Il punto all'infinito del lato $BC$ è $[0:1:-1]$, dunque il punto all'infinito di una perpendicolare ad esso è $[S_B+S_C:-S_C:-S_B]=[-a^2:S_C:S_B]$ (coerente con le formule di Conway nel caso limite con angoli di $\pi/2$). Quindi $P_1$ è il punto del lato $BC$ allineato a quest'ultimo e a $P$, ovvero è il punto della forma $[0:q:r]$ tale che
$$\textrm{det}\begin{pmatrix}-a^2&S_C&S_B\\u&v&w\\0&q&r\end{pmatrix}=0$$
quindi
$$q(-a^2w-uS_B)=r(-a^2v-uS_C)$$
ovvero $[q:r]=[S_Cu+a^2v:S_Bu+a^2w]$. :!:

Esercizio 44 Trovare il triangolo pedale dei seguenti punti, con la formula data dal fatto 18 e con il metodo ad hoc suggerito per ognuno, confrontando i risultati.
  • $G$ (sono i punti che dividono il segmento piede dell'altezzza-punto medio in rapporto $2:1$)
  • $O$ (sono i punti medi)
  • $I$ (sono i punti di tangenza dell'inscritta)
  • $K$ punto di Lemoine (sapendo quelli di $G$...)
  • $M$ punto medio dell'arco $BC$ che non contiene $A$ (stanno sulla retta che passa per il punto medio di $MH$ e uno di loro è il punto medio di $BC$)
Esercizio 45 Determinare i punti $P$ che sono baricentro del proprio triangolo pedale.
Esercizio 46 Dimostrare che il triangolo pedale del punto di de Longchamps (simmetrico di $H$ rispetto ad $O$) è anche triangolo ceviano di un altro punto $P$ e calcolare le coordinate di detto punto.
Esercizio 47 Cosa succede se si prova ad applicare la formula del fatto 18 ad un punto all'infinito? Qual è il senso geometrico (se ce n'è uno) di tale risultato?

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Re: Baricentriche!

Messaggio da EvaristeG » 18 ott 2015, 18:03

Cerchi

Sappiamo che la circonferenza circoscritta ha equazione $a^2yz+b^2xz+c^2xy=0$. Del resto, [quasi] ogni altra circonferenza è ottenuta dalla circoscritta tramite un'omotetia; sia dunque $f$ un'omotetia di centro $P=[u: v:w]$ e di fattore $k$. Consideriamo la circonferenza $\omega=f^{-1}(\Gamma)$; è evidente che $Q\in \omega \Leftrightarrow f(Q)\in \Gamma$. Siano dunque $[x:y:z]$ le coordinate di $Q$; se supponiamo $u+v+w=1$, le coordinate di $f(Q)$ sono
$$[k(x-u(x+y+z))+u(x+y+z):\textrm{cyc}:\textrm{cyc}]$$
e $f(Q)$ sta su $\Gamma$ se e solo se
$$\sum_{\textrm{cyc}}a^2(k(y-v(x+y+z))+v(x+y+z))(k(z-w(x+y+z))+w(x+y+z)$$
$$=\sum_{\textrm{cyc}}a^2(ky - (k-1)v(x+y+z))(kz-(k-1)w(x+y+z))$$
$$=k^2\sum_{\textrm{cyc}}a^2yz+ (k-1)^2(x+y+z)^2\sum_{\textrm{cyc}}a^2vw - k(k-1)(x+y+z)\sum_{\textrm{sym}}a^2yw$$
ovvero se e solo se
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(px+qy+rz)(x+y+z)=0$$
dove $p,\ q,\ r$ dipendono da $k,\ u,\ v,\ w$ (e ovviamente da $a,\ b,\ c$) come segue
$$p=\dfrac{1}{k^2}(k(k-1)(b^2w+c^2v)-a^2(k-1)^2vw-b^2(k-1)^2uw - c^2(k-1)^2uv)$$
e cicliche.

Più in là, daremo un significato a $p$, $q$, $r$ e la retta $px+qy+rz=0$. Per ora, contentatevi del

Fatto 19 La generica circonferenza ha equazione $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(px+qy+rz)(x+y+z)=0$ per una qualche terna di reali $p$, $q$, $r$ non tutti nulli.

Attenzione, non si parla di terna omogenea: le circonferenze $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(ax+by+cz)(x+y+z)=0$ e $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(2ax+2by+2cz)(x+y+z)=0$ sono distinte (anche se imparentate).

Esempio La circonferenza dei 9 punti passa per i punti medi dei lati, ovvero $[0:1:1]$, $[1:0:1]$ e $[1:1:0]$ e dunque si deve avere
$$\left\{\begin{array}{rcl}a^2-2(q+r)&=&0\\b^2-2(p+r)&=&0\\c^2-2(p+q)&=&0\end{array}\right.$$
da cui $p=S_A$ e cicliche, quindi la circonferenza dei $9$ punti è
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(S_A x+S_B y+S_C z)(x+y+z)=0\;.$$

Poli e polari: Siano dati la circonferenza $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(px+qy+rz)(x+y+z)=0$ e il punto $P=[u: v:w]$. La polare di $P$ rispetto alla circonferenza data è
$$\sum_{\textrm{cyc}}x(2up+vp+wp+vq+wr-vc^2-wb^2)=0$$

Esercizio 48 Dimostrare che, nel caso $P$ appartenga alla circonferenza, l'espressione di cui sopra descrive in effetti la tangente per $P$.
Esercizio 49 (per gli impavidi) Data la retta $lx+my+nz=0$, calcolarne il polo rispetto alla generica circonferenza.

Esempio Una circonferenza è tangente al lato $BC$ se e solo se il sistema
$$\left\{\begin{array}{rcl}a^2yz+b^2xz+c^2xy-(px+qy+rz)(x+y+z)&=&0\\x&=&0\end{array}\right.$$
ha un'unica soluzione (di molteplicità algebrica $2$). Ovvero, sostituendo la condizione $x=0$ nella prima equazione, l'equazione
$$a^2yz-(qy+rz)(y+z)=0$$
deve avere un'unica soluzione omogenea. Riscriviamo l'equazione come
$$qy^2+(q+r-a^2)yz+rz^2=0$$
e notiamo che essa è un quadrato se e solo se $0=(q+r-a^2)^2-4qr=q^2+r^2-2qr-2qa^2-2ra^2+a^4$.
Ora, se imponiamo anche il punto di tangenza, è facile determinare la famiglia di circonferenze che soddisfa le condizioni; ad esempio se vogliamo tangenza in $B=[0:1:0]$, otterremo che $q=0$ e $r=a^2$ (mentre $p$ rimarrà libero) e dunque l'equazione di una circonferenza tangente a $BC$ in $B$ sarà
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+a^2z)=0$$
mentre quella di una tangente a $BC$ in $C$ sarà
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+a^2y)=0\;.$$
In generale, dalla condizione di tangenza troviamo
$$q+r=\dfrac{(q-r)^2+a^4}{2a^2}$$
e dunque ponendo $q-r=t$ si ha
$$q+r=\dfrac{t^2+a^4}{2a^2}$$
che implica
$$q=\dfrac{2a^2t+t^2+a^4}{4a^2}=\dfrac{(a^2+t)^2}{4a^2} \qquad r=\dfrac{(a^2-t)^2}{4a^2}\;.$$
L'insieme delle circonferenze tangenti a $BC$ è dunque descritto da due parametri reali $p$ e $t$:
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)\left(px +\dfrac{(a^2+t)^2}{4a^2}y+\dfrac{(a^2-t)^2}{4a^2}z\right)=0\;.$$
Se una circonferenza è tangente a tutti e tre i lati, dovranno esistere numeri $t_1$, $t_2$, $t_3$ tali che
$$\dfrac{(b^2-t_2)^2}{4b^2}=\dfrac{(c^2+t_3)^2}{4c^2}$$
$$\dfrac{(b^2+t_2)^2}{4b^2}=\dfrac{(a^2-t_1)^2}{4a^2}$$
$$\dfrac{(a^2+t_1)^2}{4a^2}=\dfrac{(c^2-t_3)^2}{4c^2}$$
ovvero, prendendo le radici quadrate
$$\dfrac{b^2-t_2}{2b}=\pm\dfrac{c^2+t_3}{2c}$$
$$\dfrac{b^2+t_2}{2b}=\pm\dfrac{a^2-t_1}{2a}$$
$$\dfrac{a^2+t_1}{2a}=\pm\dfrac{c^2-t_3}{2c}$$
Ora tutto dipende dai $t_i$. Supponiamo che sia tutto positivo (ovvero che $-a^2<t_1<a^2$ e cicliche). Allora
$$t_2=b\dfrac{a^2-t_1}{2a}-b\dfrac{c^2+t_3}{2c}=\dfrac{a^2bc-c^2ab}{2ac} -b\dfrac{ct_2+at_3}{2ac}$$
ma
$$\dfrac{ct_1+at_3}{2ac}=\dfrac{c^2a-a^2c}{2ac}=\dfrac{c-a}{2}$$
da cui
$$t_2=b(a-c)$$
e dunque
$$p=\dfrac{(b^2-t_2)^2}{4b^2}=\dfrac{(b^2-b(a-c))^2}{4b^2}=\dfrac{b+c-a}{4}=(s-a)^2\;.$$
Similmente, si ottiene $q=(s-b)^2$ e $r=(s-c)^2$. Dunque,
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)((s-a)^2x+(s-b)^2y+(s-c)^2z)=0$$
è una circonferenza tangente ai tre lati.

Esercizio 50 Calcolare i punti di tangenza (e verificare dunque che tale circonferenza è quella inscritta).
Esercizio 51 Fare i restanti casi per i valori dei $t_i$ (sono tutti possibili?) e calcolare le equazioni delle altre circonferenze che così risultano.

Significato di $p,q,r$

Vogliamo capire cosa sono i tre parametri $p$, $q$, $r$ (che, ricordiamolo, non formano una terna omogenea, non vanno considerati a meno di multipli).

Fatto 19 Se la circonferenza
$$a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+qy+rz)=0$$
interseca il lato $BC$, allora $q$ e $r$ sono le potenze di $B$ e $C$ rispetto alla circonferenza.

Dim: Il lato $BC$ è $x=0$, quindi le intersezioni con esso rispettano
$$a^2yz-(y+z)(qy+rz)=0$$
ovvero
$$qy^2-(a^2-q-r)yz+rz^2=0\;.$$
Supponiamo che le due intersezioni siano $P_1=[0:v_1:w_1]$ e $P_2=[0:v_2:w_2]$. Allora $BP_1=aw_1/(v_1+w_1)$ e $BP_2=aw_2/(v_2+w_2)$, da cui
$$BP_1\cdot BP_2=a^2\dfrac{w_1w_2}{(v_1+w_1)(v_2+w_2)}=a^2\dfrac{w_1w_2}{v_1v_2+(v_1w_2+v_2w_1)+w_1w_2}=a^2\dfrac{q}{r+(a^2-q-r)+q}=q\;.$$
Allo stesso modo si calcola $CP_1\cdot CP_1=r$. :!:

In realtà, vale più in generale
Fatto 19$\star$ $p$, $q$, $r$ sono le potenze di $A$, $B$, $C$ rispetto alla circonferenza.

La dimostrazione viene lasciata ai più volenterosi nei prossimi esercizi.
Premettiamo il seguente
Fatto 20 La distanza del punto $P=[u: v:w]$ dal vertice $A=[1:0:0]$ è data da
$$AP^2=\dfrac{v^2c^2+w^2b^2+wv(b^2+c^2-a^2)}{S^2}$$

Dim: Supponiamo che le coordinate di $P$ siano rinormalizzate di modo che $u+v+w=S$ (con $S$ che è due volte l'area di $ABC$). Allora la distanza di $P$ da $AC$ è $v/b$ e la distanza di $P$ da $AB$ è $w/c$. Dette $U$, $V$ le proiezioni di $P$ su $AB$, $AC$, si ha
$$UV=AP\cdot \frac{a}{2R}$$
e anche
$$UV^2=PU^2+PV^2+2PU\cdot PV\cdot cos\alpha$$
da cui
$$\dfrac{AP^2a^2}{4R^2}=\dfrac{w^2}{c^2}+\dfrac{v^2}{b^2}+2\dfrac{wv}{bc}\cos\alpha=\dfrac{w^2b^2+v^2c^2+wv(b^2+c^2-a^2)}{b^2c^2}$$
ovvero
$$AP^2=\dfrac{w^2b^2+v^2c^2+wv(b^2+c^2-a^2)}{S^2}$$
che è la tesi. :!:

Esercizio 52 Date una generica circonferenza $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+qy+rz)=0$ e una retta $\mu x=\lambda y$, dette $[u_1:v_1:w_1]$ e $[u_2:v_2:w_2]$ le soluzioni omogenee (reali o complesse) del sistema tra le due, si ha che le funzioni simmetriche omogenee delle coordinate sono funzioni omogenee di $[\mu:\lambda]$.
Esercizio 53 Nel setting dell'Esercizio precedente, usando le formule del fatto 20, $(CP_1\cdot CP_2)^2$ è una funzione razionale (di che grado?) omogenea (di che grado?) di $[\mu:\lambda]$.
Esercizio 54 La funzione $(CP_1\cdot CP_2)^2$ assume lo stesso valore per infinite coppie $[\mu:\lambda]$, quindi è costante.
Esercizio 55 Il Fatto 19$\star$.

Esercizio 56 Scrivere le equazioni delle seguenti circonferenze
  • la circonferenza di Feuerbach
  • la circonferenza passante per $A$, $C$, tangente ad $AC$ in $A$
  • la circonferenza tangente alla circoscritta in $A$ internamente e al lato $BC$.
Fatto 21 Supponiamo che la circonferenza $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+qy+rz)=0$ intersechi il lato $x=0$, allora il punto di intersezione tra quel lato e la retta $px+qy+rz=0$ sta sull'asse radicale tra la circonferenza e la circoscritta.

Dim: L'intersezione di $px+qr+yz=0$ con il lato $BC$ è $Q=[0:-r:q]$. La sua potenza rispetto alla circonferenza circoscritta è
$$BQ\cdot QC=a^2\dfrac{-rq}{(r-q)^2}$$
Mentre, con la notazione del Fatto 19, la potenza rispetto alla circonferenza generica è
$$P_1Q\cdot QP_2=a^2\left(-\dfrac{q}{q-r}+\dfrac{w_1}{v_1+w_1}\right)\left(\dfrac{v_2}{v_2+w_2}+\dfrac{r}{q-r}\right)=-a^2\dfrac{qv_1+qw_1-qw_1+rw_1}{(q-r)(v_1+w_1)}\dfrac{-v_2r+v_2q+v_2r+w_2r}{(q-r)(v_2+w_2)}$$
$$=-a^2\dfrac{(qv_1+rw_1)(qv_2+rw_2)}{(r-q)^2(v_1+w_1)(v_2+w_2)}$$
e come ben sappiamo $(v_1+w_1)(v_2+w_2)=a^2$ e $(r^2w_1w_2+rq(v_1w_2+w_1v_2)+q^2v_1v_2)=(r^2q+rq(a^2-q-r)+q^2r)=a^2qr$. Dunque
$$P_1Q\cdot QP_2=BQ\cdot QC$$
ovvero $Q$ sta sull'asse radicale tra la circonferenza generica e la circoscritta. :!:

Ma ovviamente
Fatto 20$\star$ La retta $px+qy+rz=0$ è l'asse radicale tra la circoscritta e la circonferenza $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+qy+rz)=0$.

Esercizio 57 Utilizzare la strategia degli es 52-55 per dimostrare il fatto 20$\star$.

Esercizio 58 Sia $DEF$ il triangolo ortico. Mostrare che l'asse ortico (retta su cui sono allineati $EF\cap BC$ e gli altri 2 punti simili) è asse radicale tra la circoscritta e la circonferenza di Feuerbach.
Esercizio 59 Quanto fa $p+q+r$?
Esercizio 60 Date due circonferenze $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(px+qy+rz)=0$ e $a^2yz+b^2xz+c^2xy-(x+y+z)(p'x+q'y+r'z)=0$, dimostrare che il loro asse radicale è $(p-p')x+(q-q')y+(r-r')z=0$.
Esercizio 61 Calcolare il centro radicale di tre circonferenze generiche.
Esercizio 62 Trovare il punto di tangenza tra circonferenza inscritta e circonferenza di Feuerbach.

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Re: Baricentriche!

Messaggio da erFuricksen » 12 lug 2017, 13:51

EvaristeG ha scritto:
18 ott 2015, 18:03
Cerchi

Esempio La circonferenza dei 9 punti passa per i punti medi dei lati, ovvero $[0:1:1]$, $[1:0:1]$ e $[1:1:0]$ e dunque si deve avere
$$\left\{\begin{array}{rcl}a^2-2(q+r)&=&0\\b^2-2(p+r)&=&0\\c^2-2(p+q)&=&0\end{array}\right.$$
da cui $p=S_A$ e cicliche
Forse $p={1 \over 2} S_A$ e cicliche?
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

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Re: Baricentriche!

Messaggio da EvaristeG » 12 lug 2017, 15:51

Ah, possibile. Certo non mi rimetto a controllare le notazioni....

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