Io vado avanti, ma prima o poi fateli sti esercizi XD
Una delle mille notazioni inventate da Conway
Indichiamo con $S$ il doppio dell'area di $ABC$, ovvero $S=2[ABC]$. In particolare, la trigonometria ci dice che
$$S=ab\sin \gamma=ac\sin\beta=bc\sin \alpha$$
Dato un angolo $\theta$, definiamo $S_\theta=S\cot\theta$ e, per complicare le cose, poniamo $S_A=S_\alpha$, $S_B=S_\beta$, $S_C=S_\gamma$.
Fatto 6 Si ha
- $S_A=(b^2+c^2-a^2)/2$ e cicliche
- $S_B+S_C=a^2$ e cicliche
- $S_A+S_B+S_C=(a^2+b^2+c^2)/2$
- $S^2=b^2c^2-S_A^2$ e cicliche
- $S_A^2+S_B^2+S_C^2=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2-3S^2$
Dim: Vale
$$S_A=S\cot\alpha=bc\sin\alpha\cot\alpha=bc\cos\alpha=bc\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}\;.$$
Da questa segue subito che $S_B+S_C=a^2$ (e cicliche) e che $S_A+S_B+S_C=(a^2+b^2+c^2)/2$.
Inoltre
$$S^2=b^2c^2\sin^2\alpha=b^2c^2(1-\cos^2\alpha)=b^2c^2-S_A^2$$
e l'ultima è ovvia.
Esercizio 14 Mostrare che $S_BS_C=S^2-a^2S_A$ e cicliche.
Mostrare che $S_AS_B+S_BS_C+S_AS_C=S^2$.
Ora, alcuni punti che abbiamo trovato si scrivono bene con questa notazione:
$$O=[a^2S_A:b^2S_B:c^2S_C],\qquad H=[S_BS_C:S_AS_C:S_AS_B]=[S_A^{-1}:S_B^{-1}:S_C^{-1}]$$
Il centro della circonferenza di Feuerbach, che avrete calcolato in un precedente esercizio, è
$$N=[S^2+S_BS_C:S^2+S_AS_C:S^2+S_AS_B]$$
E, grazie alle formule di cui sopra, è anche comodo il calcolo delle coordinate esatte, poiché le somme sono facili da fare. Ad esempio, per il centro della circonferenza di Feuerbach, le coordinate esatte sono
$$S\dfrac{S^2+S_BS_C}{8S^2}=\dfrac{S^2+S_BS_C}{8S}$$
e cicliche.
Tale notazione però ha la sua maggiore utilità nell’applicazione della
formula di Conway:
Fatto 7 Sia $P$ un punto del piano e siano $\theta=\widehat{PBC}$, $\phi=\widehat{PCB}$, tali che $-\pi/2\leq \theta,\phi\leq \pi/2$, prendendo gli angoli positivi o negativi a seconda che abbiano lo stesso verso o quello opposto di $\widehat{CBA}$ e $\widehat{BCA}$. Allora le coordinate di $P$ sono
$$[-a^2:S_C+S_\phi:S_B+S_\theta]$$
Dim: Intanto notiamo che la condizione sui segni dice semplicemente che, se $P$ e $A$ stanno da parti opposte rispetto a $BC$, i due angoli sono positivi. Inoltre, le restrizioni su $\theta$ e $\phi$ dicono che $P$ si trova nella regione delimitata dalle due perpendicolari a $BC$ che passano per i suoi estremi.
Ora, possiamo scrivere le aree come segue
$$\dfrac{[CAP]}{[BCP]}=-\dfrac{AC\cdot CP\sin(\gamma+\phi)}{BP\cdot CP\sin(\theta+\phi)}$$
$$\dfrac{[ABP]}{[BCP]}=-\dfrac{AB\cdot BP\sin(\beta+\theta)}{BP\cdot CP\sin(\theta+\phi)}$$
Notiamo che $CP\sin(\theta+\gamma)=BC\sin\theta$ e $BP\sin(\theta+\phi)=BC\sin\phi$ e dunque
$$\dfrac{[CAP]}{[BCP]}=-\dfrac{AC\sin\gamma\cos\phi+AC\cos\gamma\sin\phi}{BC\sin\phi}$$
$$\dfrac{[ABP]}{[BCP]}=-\dfrac{AB\sin\beta\cos\theta+AB\sin\theta\cos\beta}{BC\sin\theta}$$
infine, isolando un fattore $S$ a numeratore e dividendo per il seno a denominatore si ottiene
$$\dfrac{[CAP]}{[BCP]}=-\dfrac{1}{BC^2}S(\cot\gamma+\cot\phi)=-\dfrac{1}{BC^2}(S_C+S_\phi)$$
$$\dfrac{[ABP]}{[BCP]}=-\dfrac{1}{BC^2}S(\cot\beta+\cot\theta)=-\dfrac{1}{BC^2}(S_B+S_\theta)$$
da cui la tesi.
Esempio: Costruiamo il triangolo
equilatero $BCA'$ di modo che $A'$ e $A$ siano da parti opposte di $BC$ e sia $D$ il suo baricentro. Allora $\widehat{DBC}=\widehat{DCB}=30^\circ$ e $\cot(\pi/6)=\sqrt{3}$, dunque $D=[-a^2:S_C+\sqrt{3}S:S_B+\sqrt{3}S]$, mentre $A'=[-a^2:S_C+S/\sqrt{3}:S_B+S/\sqrt{3}]$.
Esempio bis: Se avessimo costruito il triangolo con $A'$ e $A$ dalla stessa parte di $BC$, avremmo ottenuto $D=[-a^2:S_C-\sqrt{3}S:S_B-\sqrt{3}S]$ e similmente per $A'$.
Esercizio 15: Trovare le coordinate dei centri dei quadrati costruiti esternamente ai lati.
Esercizio 16: Trovare le coordinate del simmetrico del circocentro rispetto al lato $BC$; stessa cosa per l'ortocentro, ma rispetto al lato $AC$.
Esercizio 17: Con la notazione dell'Esempio (o dell'Esempio bis), costruire allo stesso modo $B'$, $E$, $C'$, $F$ e mostrare che $AD$, $BE$, $CF$ concorrono, come pure $AA'$, $BB'$, $CC'$.
Esercizio 18: Trovare, in termini di $S$, $S_\theta$, $S_\phi$, le espressioni di $S_{2\theta}$, $S_{\theta/2}$, $S_{\theta+\phi}$.
Esercizio 19: Trovare le coordinate del punto medio dell'arco $AC$ che non contiene $B$. (Sì, di nuovo... No, non come prima.)
Esercizio 20: Se $D$, $E$, $F$ sono tali che $\widehat{CAE}=\widehat{BAF}=\theta$, $\widehat{ABF}=\widehat{CBD}=\phi$, $\widehat{BCD}=\widehat{ACE}=\psi$, mostrare che le rette $AD$ ,$BE$, $CF$ concorrono (e calcolare le coordinate del punto di intersezione).