Convessità della funzione distanza

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
Rispondi
erFuricksen
Messaggi: 156
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova

Convessità della funzione distanza

Messaggio da erFuricksen » 18 apr 2015, 23:44

Ciao a tutti,
qualcuno mi saprebbe spiegare come definire la funzione distanza in un triangolo (e non) e come si dimostra il fatto che sia strettamente convessa?
Mi era capitato qualche tempo fa di beccarla in un video, non l'avevo capita e non le avevo dato importanza.. Ora l'ho ritrovata leggendo Problem Solving Strategies a pagina 176
E magari che quel qualcuno mi dica anche se ho detto qualcosa di sbagliato già nel fare la domanda :?
Grazie in anticipo :)
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

erFuricksen
Messaggi: 156
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da erFuricksen » 09 giu 2015, 16:51

Io provo a rilanciare la domanda, non si sa mai...
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

fph
Site Admin
Messaggi: 3301
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da fph » 09 giu 2015, 20:20

"Distanza in un triangolo", da sola, non vuol dire nulla, che io sappia. Vuoi forse dire distanza da un vertice o da un lato?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

erFuricksen
Messaggi: 156
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da erFuricksen » 09 giu 2015, 21:54

Riporterò l'esempio sopra citato:
Arthur Engel ha scritto: E24. Consider the following problem of the US Olympiad 1980:
$$1 ≥ a,b,c≥ 0 ⇒
{a \over b+c+1}+
{b \over c+a +1}+{
c \over a +b+1}+(1−a)(1−b)(1−c) ≤ 1$$ A manipulative solution requires enormous skills, but there is a solution without any manipulation. Denote the left side of the inequality by $f(a,b,c)$.This function is defined on a closed convex cube, and $f(a,b,c)$ is strictly convex in each variable since the second derivative in each variable is strictly positive. Hence, $f$ assumes its maximum $1$ at the extremal points, that is, the $8$ vertices $(0,0,0),...,(1,1,1)$. They are the only points of the closed cube, which are not midpoints of two other points of the cube.This proof would be accepted at the IMO if one cites the Theorem of Weierstraß that a continuous function on a bounded and closed domain assumes its maximum and minimum.
Ora, non credo di aver capito appieno che cosa intendesse.. anche perché non è una cosa che ho trovato solo in questo problema, ma mi capita ciclicamente di imbattermici nuovamente.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

fph
Site Admin
Messaggi: 3301
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da fph » 09 giu 2015, 22:08

Uhm, l'ho letto tre volte e non vedo la parola "distanza". Sono io che non so leggere o non c'è nulla del genere? Forse ti riferisci al problema della pagina dopo, che parla sì di distanza e di convessità, ma lì la distanza è la solita funzione $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

erFuricksen
Messaggi: 156
Iscritto il: 28 lug 2014, 10:01
Località: Genova

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da erFuricksen » 09 giu 2015, 22:22

Sì, forse ho preso l'esempio sbagliato.. fatto sta che non capisco di quale convessità si parli in quella funzione.
Cioè: convessa in quale variabile? e se in più variabili, come si definisce la convessità su più variabili? un po' di cose non mi tornano; neanche il modo in cui usa questo fatto.
$ x^2 + (y - \sqrt {|x|} )^2 = 2 $

fph
Site Admin
Messaggi: 3301
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da fph » 09 giu 2015, 22:57

In quell'esercizio la soluzione del libro dice che è convessa in ogni variabile, cioè se lasci ferme $b$ e $c$ e fai variare $a$ è una funzione convessa nella sola $a$. Cosa che puoi verificare a colpi di derivate seconde. Quindi il massimo, se c'è (e c'è per Weierstraß), si trova (anche) in un punto in cui $a$ è massima o minima. Lo stesso ragionamento vale per $b$ e $c$, quindi...

Ognuna di queste frasi probabilmente andrebbe espansa un po' per farla diventare una dimostrazione completa, quindi dimmi dove smetti di seguire e vedo se riesco a metterci una pezza.

La convessità in più variabili (che qui non serve) si definisce considerando le variabili come un solo vettore: $f(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix})$ è convessa se $f(\lambda\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}+(1-\lambda)\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}) \leq \lambda f(\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix})+(1-\lambda)f(\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix})$.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1113
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: Convessità della funzione distanza

Messaggio da Drago96 » 09 giu 2015, 23:38

Probabilmente non sono il più adatto, ma tento di dirti qualcosa sperando di non sbagliare...
Se tu vuoi trovare un punto di massimo o di minimo in una funzione di una variabile, imponi la derivata uguale a 0; ma non basta, perché devi controllare gli estremi (pensa ad esempio se vuoi massimizzare $x^2$).
Bene, passiamo in due variabili; se vogliamo trovare un massimo, dobbiamo generalizzare il concetto di derivata, e quello che si fa è prendere il gradiente, che è il vettore delle derivate parziali. In pratica fai finta di fissare tutte le variabili meno una, ovvero di muoverti solo lungo una retta, e in questo modo sai fare la derivata classica; fai questo ragionamento per ogni direzione, e butti i risultati in un vettore che in pratica ti dice qual è la direzione ottimale per aumentare la funzione. Ora, in un punto di massimo hai che per ogni direzione quello è un massimo della "fetta" di funzione, quindi il gradiente è il vettore di soli zeri; questo accade anche nei punti di minimo, e in altri punti buffi (pensa ad un pringles).
E questo era un pezzo; devi andare poi a controllare i bordi, cioè i punti "estremi" del dominio dove il sapere quanto vale la derivata non serve a nulla perché non puoi uscire e quindi anche se la funzione vorrebbe crescere ancora, tu la fermi ma potresti essere andato abbastanza lontano da far sì che la sua tendenza a crescere l'abbia portata a superare il massimo "locale" dove la derivata si annullava. Su un segmento i bordi sono gli estremi, su un piano sono le rette; ma allora per controllare i bordi su un piano stai andando su una retta! questo vuol dire che da due variabili passi ad una (esempio: vuoi trovare il massimo di una certa $f$ su $x\ge0,y\ge0,x+y\le1$; fai i vari discorsi di gradiente, e poi vai a controllare le rette $x=0,y=0,y=1-x$ il che significa che avrai tre nuove funzioni $f_1,f_2,f_3$, che hanno però una sola variabile, quindi fai la derivata normale e poi controlli i due estremi dell'intervallo) In generale se sei in un (iper)cubo ovvero $0\le x_1,x_2,\dots x_n\le1$ ne metti una uguale a 1, poi a 0 e vedi nei due casi che succede; se sei su un iperpiano $x_1+x_2+\dots+x_n\le1,x_i\ge0$ provi a metterne una uguale a 0, oppure $x_n=1-x_1-\dots-x_{n-1}$ e così via.
Ok, probabilmente non si capisce niente e c'entra molto poco con la convessità...
Ah, se prendiamo $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ puoi ben vedere che $\displaystyle\nabla f=\left(\frac x{\sqrt{x^2+y^2}},\frac y{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$ ovvero è un vettore di lunghezza 1 che ha lo stesso verso e direzione del vettore $(x,y)$; in pratica ti sta dicendo che se vuoi allontanarti in fretta dall'origine, la strada migliore è quella dritta. E a questo punto mi dirai "beh grazie tante..." e forse hai anche ragione xD
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite