Differenza di potenze con il medesimo esponente

[Ratman98]

Mi chiedevo(non senza ragione) se esistono più modi di fattorizzare ( x^n - y^n ) quando n è pari.

[<enigma>]

Quand'è che per te due modi di fattorizzarlo si considerano distinti?

[Ratman98]

So che per ogni intero la scomposizione in fattori è unica. Considero due scomposizioni distinte quando sono scritte in una forma diversa(anche se significano la medesima cosa). Nel caso specifico ho trovato che, rispetto alla quantità di prima, oltre alla scomposizione (x-y)*( ... ) c'è anche (x+y)*( ... ).

[Drago96]

Beh, $x^{2n}-y^{2n}=(x^n-y^n)(x^n+y^n)$ e poi le somme e sottrazioni le spezzi... se $n$ è dispari, tiri fuori $x+y$, mentre c'è sempre un $x-y$...
Se no, tagliamo la testa al toro e usiamo i ciclotomici: $x^n-y^n=y^n((\frac x y)^n-1)=\prod_{d\mid n} y^{\varphi(d)}\Phi_d(\frac x y)$ e lì ci sono tutti i fattori possibili come polinomi a coefficienti interi

[Ratman98]

Innanzitutto grazie , anche se i ciclotomici li conosco solo per definizione. La seconda scomposizione viene: (x+y)*[x^(n-1) - x^(n-2)*y ... + x*y^(n-2) - y^(n-1)} . Mi è capitata in una provinciale e credevo fosse utile(non indispensabile) tenerla a mente.