Sulle schede olimpiche la disuguaglianza di Holder viene definita come:
$ \left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i |a_ib_i|^r\right)^{\frac{1}{r}} \leq \left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i |b_i|^q\right)^{\frac{1}{q}} $
Con le condizioni $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$, $\forall i \; a_i\in \mathbb{R}$ e $\forall i \; \lambda_i\in \mathbb{R_0^+}$.
Invece in luoghi anglofoni (leggasi su aops) ho spesso visto che con disuguaglianza di Holder venisse inteso:
$ \left( \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^ka_{i,j} \right)^k\leq \prod\limits_{j=1}^k
\left( \sum\limits_{i=1}^n a_{i,j}^k\right) $
Che è una sorta di Cauchy-Schwarz in più n-uple.
"Andando ad occhio" direi che si possa dimostrare la seconda dalla prima facendo catene di disuguaglianze in questo modo (oppure c'è un modo con la normalizzazione delle somme fatto vedere al senior 2013). In gara, posso utilizzare entrambe le disuguaglianze senza dimostrazione? Se si, la seconda disuguaglianza come la dovrei chiamare?
Disuguaglianza senza nome
- karlosson_sul_tetto
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Disuguaglianza senza nome
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Re: Disuguaglianza senza nome
Puoi usare entrambe. "Hölder" va bene, se no anche "Hölder generalizzata". Al solito, è più importante specificare come e su cosa la usi che non come la chiami. In generale, vale
$$
\left( \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^ka_{i,j}^r \right)^{1/r}\leq \prod\limits_{j=1}^k \left( \sum\limits_{i=1}^n a_{i,j}^{p_j}\right)^{1/p_j}
$$
quando $\sum_{j=1}^k \frac{1}{p_j}=\frac{1}{r}$ ($p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$), che le generalizza entrambe. Il modo umano di ricordarsela è chiamando $\|a\|_q=\left(\sum_i a_i^q\right)^{1/q}$, "norma $q$-esima", cosicché diventa
$$
\|a_1a_2\dots a_k\|_r \leq \|a_1\|_{p_1}\|a_2\|_{p_2}\dots\|a_k\|_{p_k}.
$$
con lo stesso vincolo di sopra.
$$
\left( \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^ka_{i,j}^r \right)^{1/r}\leq \prod\limits_{j=1}^k \left( \sum\limits_{i=1}^n a_{i,j}^{p_j}\right)^{1/p_j}
$$
quando $\sum_{j=1}^k \frac{1}{p_j}=\frac{1}{r}$ ($p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$), che le generalizza entrambe. Il modo umano di ricordarsela è chiamando $\|a\|_q=\left(\sum_i a_i^q\right)^{1/q}$, "norma $q$-esima", cosicché diventa
$$
\|a_1a_2\dots a_k\|_r \leq \|a_1\|_{p_1}\|a_2\|_{p_2}\dots\|a_k\|_{p_k}.
$$
con lo stesso vincolo di sopra.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]
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- karlosson_sul_tetto
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Re: Disuguaglianza senza nome
Chiaro, grazie tante
Non sapevo di questa condizione... è necessaria anche nei "casi particolari" ?fph ha scritto:$p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$
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Re: Disuguaglianza senza nome
Uhm, no, hai ragione tu, in effetti funziona tutto uguale anche senza. Il motivo per cui mi è venuto da metterla è che quelle "norme" sono degli oggetti abbastanza strani per $p<1$ e non soddisfano le proprietà che uno si aspetta (tipo la disuguaglianza triangolare). Ma Hölder funziona lo stesso; basta elevare tutto alla $r$ e ricondursi a quella con $r=1$. Rimpiazzalo pure con $p_i>0$.karlosson_sul_tetto ha scritto:Chiaro, grazie tanteNon sapevo di questa condizione... è necessaria anche nei "casi particolari" ?fph ha scritto:$p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$
--federico
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