Dubbio scettico

[Ratman98]

Abbiamo un quadrilatero i cui lati misurano 5, 5, 7 e 1; quanto vale al massimo l'area del quadrilatero? È un problema tratto dalle provinciali del 2013. Premettendo che io ho risolto(o per meglio dire ho intravisto la soluzione) il problema considerando il quadrilatero formato da due triangoli rettangoli, non ho capito la soluzione ufficiale: diciamo AB=1 , BC=7, AD=DC=5 e le altezze AH relativa a BC e AK relativa a DC. AH<=AB e AK<=AD perché di volta in volta cateti e ipotenuse, che possono anche 'coincidere', come avviene nel caso particolare che ho considerato io. Allora, per il teorema di Tolomeo (BC•AH+DC•AK):2 <= (BC•AB+DC•AD):2=16. Quanto scritto ora, mi sembra conseguenza delle osservazioni precedenti e non del teorema di Tolomeo, o c'è qualcosa che mi sfugge?

[Ratman98]

Prego gli utenti di buona volontà affinché mi rispondano. Non vorrei che questo post finisse nel dimenticatoio; se poi non dovesse rispondermi nessuno, mi convincerò della liceità del mio dubbio, cosicché tutti gli utenti che potevano correggermi e non l'hanno fatto dovranno sentirsi in colpa per aver traviato intellettualmente un povero ignorante

[karlosson_sul_tetto]

Si, hai ragione (o almeno sono nel torto con te ) la soluzione da te descritta usa la disuguaglianza delle aree dei due triangoli, che è massima quando è massima l'altezza; per usare tolomeo avrebbe dovuto inserire anche lati e prodotti a caso. Un'idea sarebbe considerare ABHC come quadrilatero degenre ed applicarci sopra tolomeo ottenendo $BC\cdot AH\leq AB\cdot HC+BH\cdot AC=AB\cdot(CH+BH\cdot\frac{AC}{AB})$ che è una stima peggiore di quella che hai scritto tu (che è $AB\cdot AC$) perché $AC=CH+BH$ e $CH+BH<CH+BH\cdot\frac{AC}{AB}$ sicome $AC>AB$

[EvaristeG]

Non ti sfugge nulla. La prossima volta magari posta una cosa simile semplicemente come problema nella sezione dei problemi e vedi come lo risolve qualcun altro "Verificare" una soluzione è sempre più noioso che trovarne una da soli.

[Ratman98]

Grazie ad entrambi. EvaristeG , farò tesoro del tuo consiglio