Gare a squadre 2008 semifinale help

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Whov
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Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da Whov » 20 ago 2014, 17:51

Problemi 8-10 heelp! http://olimpiadi.dm.unibo.it/wp-content ... re2008.zip. Scusate se ve li faccio scaricare ma non sono riuscito a copiare-incollare il testo :oops: .
Per l'8 sono sicuro di aver frainteso qualcosa: come faccio a determinare la posizione di casa Simson? Non riesco a collegarla agli altri dati...
Nel 10 invece sapreste consigliarmi qualcosa per studiare le ricorrenze (ad esempio ho visto http://www.problemisvolti.it/CorsoBaseO ... atica.html, pensate che la lezione 3 possa andare per il mio caso)? Dovrei sciogliere la dipendenza di $ t_n+1 $ dai termini precedenti e riferirla invece solo a $ n $. Con un po'di fantasia ero riuscito a cavarmela nel 5, ma qui si fa complesso...
Scusate la nabbezza, ma ci siamo passati tutti no? :lol: Grazie!!

EDIT: link corretto (primo post, primo derp. Mi sembra giusto :lol: )
Ultima modifica di Whov il 20 ago 2014, 19:11, modificato 1 volta in totale.

matpro98
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Re: Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da matpro98 » 20 ago 2014, 18:16

Scusa, ma mi sa che il file sia delle individuali ;)

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Re: Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da matpro98 » 20 ago 2014, 19:49

Il numero 8 è semplice geometria.
Prendiamo un pentagono regolare $ABCDE$; il problema si riformula come "mandiamo da $B$ la perpendicolare alla retta $AE$ e sia $H$ il piede di essa. Sia $O$ l'intersezione tra la perpendicolare da $B$ a $DE$ e $AC$. Sia $S$ l'intersezione tra $OH$ e $CE$. Quanto vale $ES$?"

Adesso, l'angolo in $D$ vale $108°$, quindi $\angle{DEC}=\angle{DCE}=36°$ e $\angle{AEC}=72°$. Ma anche $\angle{BAH}=72°$, perciò $CE//AB$. Se consideri $AOBH$, puoi dire che esso è ciclico perché ha due angoli retti opposti, quindi $\angle{BOH}=\angle{BAH}=72°$ perché sottendono lo stesso arco; $\angle{ABO}=54°$ e quindi $\angle{AHS}=54°$ per lo stesso motivo. Ma, per differenza e parallelismi, anche $\angle{ESH}=54°$ e quindi $\Delta{EHS}$ è isoscele e quindi $ES=EH=AH+AE$. Ma $AH$ è, poiché $\angle{BAH}=72°$, $AH$ è la metà del lato di un decagono regolare che, dovrebbe essere noto, è la sezione aurea del raggio, cioè $AB$. Con pochi passaggi hai $ES=\dfrac{\sqrt{5}+3}{4}\cdot2008=2628$.

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Re: Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da Whov » 21 ago 2014, 08:43

A parte l'ultimo passaggio con la sezione aurea (mai vista applicata a un'esercizio prima, praticamente solo alle piante! Corro a studiarla meglio ora) ottima spiegazione. Che ne pensi del link sopra per le ricorrenze? Non ho ancora fatto in tempo a guardarlo. Grazie molte intanto!

matpro98
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Re: Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da matpro98 » 21 ago 2014, 11:03

Per uno alle prime armi è un buon corso per imparare le tecniche base, ma il link preciso non sono andato a vederlo

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Re: Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da Whov » 21 ago 2014, 19:05

Quello che sono io allora :) basta seguirlo un po'scorrendo rapidamente ma ci imparo (vedo cose nuove soprattutto)

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Re: Gare a squadre 2008 semifinale help

Messaggio da Whov » 05 set 2014, 18:12

Ciao a tutti di nuovo: sono riuscito ad andare avanti un po' (tanto altro da fare!) e negli ultimi 2 giorni ho fatto 11 e 14. Ecco le questioni:
10) ancora a terra :?
11) tutto ok
12) voglio meditarlo un altro po' prima di gettare la spugna EDIT: risolto (credo! mi sembra un po'fumosa come dimostrazione). Per tentativi ed errori (leggi: calcolando 2008/800) trovo che, dovendo stare in N e al di sotto di 2008, il miglior tentativo è fare 400 salti da 3orizzontale e 1 verticale e altri 400 (alternati) da 2 orizzontale e 1 verticale, cioè 800 verticali e 400*3+400*2=2000 orizzontali. Gli 8 salti orizzontali restanti per fare tutto il percorso della diagonale vengono spalmati sul bordo (4 in alto e in basso) e quindi esclusi, ottenendo perciò 2008+800-8 = 2800.

13) Ecco: io anzitutto ho considerato sale e pepe sullo stesso arco di semicirconferenza, e non so se sia corretto (però il problema poi sembra filare così, altrimenti il quadrilatero viene concavo o non viene affatto mi pare).Fissando il triangolo $ OLP $ io devo massimizzare l'altezza di $ BSP $ relativa a $ BP $ Io pensavo di calcolare la pendenza di $ PL $ rispetto al sistema di riferimento di centro centro di circonferenza e, fatto l'antireciproco, calcolare l'asse e intersecarlo con la crf. Anche provando con il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento però all'intersezione i calcoli mi sommergono, quindi immagino ci sia un altro metodo ;)

14) In questo sono riuscito, però con un dubbio sul metodo (ne esiste meno trigonometrico?): l'angolo PC^O è calcolabile con pitagora generalizzato (il suo coseno). A quel punto esprimo BO^C in funzione del primo angolo e, usando le formule trigonometriche, mi riconduco all'uso diretto del coseno di PC^O senza quindi doverlo calcolare ( :D ). E poi è sufficiente calcolare BC e sommare a CP. Tuttavia, nonostante non sia terribile, potrebbe non essere il meglio. Grazie!

EDIT: inoltre
15) fatto subito (ho studiato la sezione aurea!)
16) alto mare... non ho visto similitudini (AEO e ACO non sono simili) e O non appartiene alla bisettrice di C perpendicolare a quella data, e quelle sono state le mie uniche idee che sono solo riuscito, dimostrando, a smentire. :x
Grazie di nuovo!

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