Medie p-esime

[karlosson_sul_tetto]

Salve a tutti, qualcuno conosce (o può linkare) qualche dimostrazione carina/olimpica/senzaanalisi del fatto che se p<q allora
$ \sqrt[p]{\frac{\sum x_i^p}{n}}<\sqrt[q]{\frac{\sum x_i^q}{n}} $

[Drago96]

Mh, Jensen ti piace?

[karlosson_sul_tetto]

A rispondere testualmente no, ma mi accorgo col passare del tempo che si sta rivelando molto potente D: (in effetti viene subito, grazie)

[fph]

Viene subito se sai che $x^{q/p}$ è convessa, ma per dimostrarlo senza analisi un po' di fatica ti ci va.

[karlosson_sul_tetto]

Uhm...vale usare Holder generalizzata?
Se non sbaglio (i moduli infatti non mi sembrano molto gentili) la condizione di convessità è:
$ (ax+by)^{\frac{q}{p}}\leq ax^{\frac{q}{p}}+by^{\frac{q}{p}} $
con a+b=1; questa è vera per Holder generale come scritta sul gobbino con a,b=$ \lambda $, x,y=$ a_i $, $ b_i=1 $, i tre esponenti in ordine 1, $ \frac{q}{p} $, $ \frac{q-p}{q} $

[Tess]

mi accorgo col passare del tempo che si sta rivelando molto potente

Dando per scontato che certe funzioni sono convesse, come sottolinea fph, con Jensen dimostri qualsiasi (o quasi, diciamo 90%) delle disuguaglianze classiche olimpiche.