Ciao! Guarda, il post andrebbe in teoria dei numeri perchè le equazioni diofantee parlano di numeri interi. Comunque ti rispondo qui, magari lo sposteranno i moderatori
Innanzitutto vediamo le
Condizioni necessarie. Siano \(a,b,c,d\) degli interi, e sia \(m=MCD(a,b,c)\). Affinchè l'equazione in \(x,y,z\)
\[ax+by+cz=d\]
possa avere soluzioni intere, deve valere \(m \mid d\), perchè altrimenti \(m\) dividerebbe il membro sinistro (che si chiama di solito \(LHS\), Left Hand Side ) ma non il membro destro ( \(RHS\), Right Hand Side). Passiamo alle
Condizioni sufficienti.
Un'equazione si dice
omogenea quando, moltiplicando tutte le variabili che hai per un certo \(\lambda\), le cose non cambiano molto, ossia ti si semplifica il \(\lambda\).
Esempi di equazioni omogenee (prova a verificare che lo siano, sotituendo \(\lambda x, \lambda y, \lambda z\) a \(x,y,z\) ) :
\[ 3x+2y-7z = 0 \ \ \ \frac{13x^2}{w} + \frac{w^3x}{x^3-w^3} = y \ \ \ \ (a^3+b^3)^2 + (b^2+c^2)^3 = (c+a)^6 \]
Il brutto è che l'equazione con cui abbiamo a che fare è
disomogenea (non omogenea). Di solito per risolvere una disomogenea si fa così (prendo uno dei tuoi esempi):
1. Si trova
una soluzione della disomogenea \(x+2y+3z=4\); ad esempio \((1,0,1)\) qui va bene.
2. Si trovano
tutte le soluzioni dell'omogenea associata \(x+2y+3z=0\), che riscriviamo come \( 2y+3z = -x\). Qui sfruttiamo il fatto di saper risolvere una diofantea di primo grado. In particolare, una volta trovate le soluzioni di
\[ 2y+3z= 1\]
in funzione di un certo parametro \(t\) - che chiamiamo \(y_t, z_t\) - ci basta moltiplicare tutto per \(-s\) e otteniamo \( 2(-y_ts)+3(-z_ts) = -s\). Perciò possiamo scrivere le soluzioni di \( x+2y+3z=0\) in funzione di due parametri \(s,t\) così: \( (s, -y_ts,-z_ts)\).
3. Visto che sommando l'omogenea e la disomogenea membro a membro, otteniamo sempre la disomogenea ma con altre variabili, sommando una soluzione dell'omogenea a una della disomogenea otteniamo una soluzione della disomogenea.Infatti:
\[ (1) +2(0) +3(1) = 4 \ \ \ + \ \ \ \ s-2sy_t-3sz_t = 0 \ \ \ \ = \ \ \ \ (s+1) +2(-sy_t ) + 3(1-sz_t) = 4\]
Quindi le soluzioni sono della forma \( (s+1, -sy_t,1-sz_t)\) al variare di \(s,t \in \mathbb{Z}\); naturalmente \(y_t,z_t\) vanno calcolate esplicitamente in \(t\) dalla diofantea in due variabili per ottenere le vere soluzioni.
4. Le soluzioni sono tutte e sole quelle così trovate perchè, detta \((x_1, y_1,z_1)\) una generica soluzione, \((x_1, y_1, z_1)-(1,0,1) \) deve essere soluzione dell'omogenea (perchè?); ma allora le soluzioni sono tutte e sole quelle ottenute sommando una sol dell'omogenea a \( (1,0,1)\).
Spero di essere stato chiaro!
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe