Modulo -p
Inviato: 27 feb 2014, 15:29
In tutte o quasi le lezioni/dispense si definisce la congruenza come $ a\equiv b \pmod{n} \iff a-b=kn $ con $k\in \mathbb{Z}$.
Ora, $ a\equiv b \pmod{n} \iff a\equiv b \pmod{-n} $ siccome al posto di $k$ posso mettere $-k$. La domanda:
entriamo nello specifico dei $n$ primi (non è strettamente necessario ma vabbé). Sia $n=7$ che è $\equiv 3 \pmod{4}$. $-n=-7\equiv 1 \pmod{4}$ (ho preso $n$ piccolo, ma volendo se ne può scegliere uno grande). Da un lato le proprietà modulo $n$ dovrebbero essere le stesse di $-n$, mentre dall'altro ci sono cose che cambiano. Esempio: $-1$ è residuo quadratico modulo $p$ se e solo se $p\equiv 1 \pmod{4}$. Dunque modulo $7$, $-1$ non è un residuo quadratico, mentre modulo $-7$ si.
Ora, $ a\equiv b \pmod{n} \iff a\equiv b \pmod{-n} $ siccome al posto di $k$ posso mettere $-k$. La domanda:
entriamo nello specifico dei $n$ primi (non è strettamente necessario ma vabbé). Sia $n=7$ che è $\equiv 3 \pmod{4}$. $-n=-7\equiv 1 \pmod{4}$ (ho preso $n$ piccolo, ma volendo se ne può scegliere uno grande). Da un lato le proprietà modulo $n$ dovrebbero essere le stesse di $-n$, mentre dall'altro ci sono cose che cambiano. Esempio: $-1$ è residuo quadratico modulo $p$ se e solo se $p\equiv 1 \pmod{4}$. Dunque modulo $7$, $-1$ non è un residuo quadratico, mentre modulo $-7$ si.