Modulo -p

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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karlosson_sul_tetto
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Modulo -p

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 27 feb 2014, 15:29

In tutte o quasi le lezioni/dispense si definisce la congruenza come $ a\equiv b \pmod{n} \iff a-b=kn $ con $k\in \mathbb{Z}$.
Ora, $ a\equiv b \pmod{n} \iff a\equiv b \pmod{-n} $ siccome al posto di $k$ posso mettere $-k$. La domanda:
entriamo nello specifico dei $n$ primi (non è strettamente necessario ma vabbé). Sia $n=7$ che è $\equiv 3 \pmod{4}$. $-n=-7\equiv 1 \pmod{4}$ (ho preso $n$ piccolo, ma volendo se ne può scegliere uno grande). Da un lato le proprietà modulo $n$ dovrebbero essere le stesse di $-n$, mentre dall'altro ci sono cose che cambiano. Esempio: $-1$ è residuo quadratico modulo $p$ se e solo se $p\equiv 1 \pmod{4}$. Dunque modulo $7$, $-1$ non è un residuo quadratico, mentre modulo $-7$ si.
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Drago96
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Re: Modulo -p

Messaggio da Drago96 » 27 feb 2014, 17:14

In realtà anche modulo $-7$ non è residuo quadratico...
Infatti hai che $\left(\dfrac{-1}p\right)=1\iff |p|\equiv1\pmod4$ ;)
Perché? Basta ripensare alla dimostrazione... allora prendiamo un primo $p>0$; abbiamo $a^2\equiv-1\pmod p\iff ord_p(a)=4$; ma l'ordine moltiplicativo divide la phi, quindi dobbiamo avere $4\mid p-1$.
Ora, il passaggio cruciale è quella divisibilità... si dimostra dicendo che $a^{p-1}\equiv1\pmod p$ (con $a\not\equiv0$), e questo si fa per esempio prendendo i due insiemi $A=\{1,2,\dots,p-1\}$ e $aA=\{a,2a,\dots,(p-1)a\}$, dicendo che sono uguali modulo $p$ e uguagliando il prodotto; la divisibilità segue dalla minimalità dell'ordine moltiplicativo.

Dunque, vediamo ora cosa succede con $-p$: la cosa fondamentale è che anche qua $a^{p-1}\equiv1\pmod{-p}$, e all'esponente non c'è $p+1$ o altro, ma proprio $p-1=|-p|-1$, e questo si fa nello stesso identico modo, infatti $-p$ è primo e ha gli stessi residui di $p$. Quello che vorresti affermare è equivalente al dire appunto che $a^{p+1}\equiv1$. La cosa importante è QUANTE sono le classi di congruenza, e poco importa se sono modulo un primo positivo o negativo.
Detto in altre parole, l'ordine del gruppo $\mathbb Z/(-p)\mathbb Z^\ast$ è $p-1$, esattamente quanto quello di $\mathbb Z/p\mathbb Z^\ast$; anzi in realtà i due gruppi sono la stessa cosa!

Spero di essermi fatto capire :)
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