Frazioni continue di naturali non della forma $k^2 + 1$

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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marconato
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Frazioni continue di naturali non della forma $k^2 + 1$

Messaggio da marconato » 28 dic 2013, 15:31

Salve a tutti, il titolo dice già tutto! Sto avendo difficoltà a scrivere in frazione continua i numeri naturali che non sono i successivi di un quadrato perfetto! Ho provato a cercare in internet o nell'oliforum ma senza troppi esiti positivi, infatti vengono sempre fatti gli esempi $\sqrt{2}$ e $\sqrt{5}$. Per risolvere ad esempio $\sqrt{5}$ io procedo così:
$$\sqrt{5} = 2 + (-2 + \sqrt{5})\cdot\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}} = 2 + \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$$ da cui segue che $$\sqrt{5} = [2;\overline{4}]$$
Per gli altri numeri chiedo a voi, grazie in anticipo ;)

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Lasker
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Re: Frazioni continue di naturali non della forma $k^2 + 1$

Messaggio da Lasker » 28 dic 2013, 18:18

Scusa, ma non basta procedere in questo modo? Faccio un esempio con $\sqrt{7}$:
$$\sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2)=2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{7}-2}}$$
Adesso razionalizzi semplicemente la frazione a denominatore:
$$2+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{7}-2}\cdot\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}+2}}=2+\frac{1}{\frac{\sqrt{7}+2}{3}}$$
Bene, ora facciamo come prima, isoliamo il più grande intero minore di $\frac{\sqrt{7}+2}{3}$, cioè $1$, e continuiamo allo stesso modo:
$$2+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{7}-1}{3}}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt{7}-1}}}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{\frac{\sqrt{7}+1}{2}}}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{\sqrt{7}-1}{2}}}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{{1+\frac{\sqrt{7}-2}{3}}}}}$$
Adesso, al prossimo passaggio (per fortuna, visto che non mi stava più sulla riga...) otterremo:
$$2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{{1+\frac{1}{2+\sqrt{7}}}}}}$$
Si ripete il $\sqrt{7}$, e quindi possiamo sostituirlo con la sua rappresentazione (che abbiamo già trovato) all'infinito!

Quindi abbiamo finito, e la frazione continua dovrebbe essere:
$$[2;\overline{1;1;1;4}]$$
Fatto così, dovrebbe funzionare per qualunque intero positivo, esattamente allo stesso modo :) !
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

marconato
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Re: Frazioni continue di naturali non della forma $k^2 + 1$

Messaggio da marconato » 28 dic 2013, 19:40

Grazie mille!!!!

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