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Supponiamo di avere due polinomi $p,q$ di grado $n$ con i coefficienti di tsta $a$ e $b$. Si sa che

$$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a}{b}$$

e si sa che

$$\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} < \frac{a}{b} \forall x>0$$

Ora è vero che $\displaystyle \forall m<\frac{a}{b} \ \exists x_0>0$ t.c. $\frac{p(x_0)}{q(x_0)}=m$? Si puo dare per buono in una dimostrazione in gara? Come si dimostra?

Così non funziona: $ p(x)=x^2 $, $ q(x)=x^2+1 $ ma gli $ m $ negativi non li prendi mai. O sbaglio?

Ok, sparo più basso. Supponiamo che esistano $k_1, k_2$ tali che $\forall x \in \mathbb{R^+}$ si ha

$$k_1 \leq\frac{p(x)}{q(x)} \leq k_2$$

Allora esiste un $x_0$ t.c. il rapporto valutato in $x_0$ sia uguale a $m$ per ogni $m$ con $k_1 \leq m \leq k_2$? Il discorso varia co le disuguaglianze strette?

P.s. non so nulla di analisi, quindi potrei scrivere cose strabanali.

Dovresti prendere $m$ in un intorno sufficiemente piccolo di $a/b$, supposto che sia finito; come si dimostra? $p/q$ è una funzione definitivamente continua, se $q$ non è il polinomio nullo..

scambret ha scritto:Supponiamo di avere due polinomi $p,q$ di grado $n$ con i coefficienti di tsta $a$ e $b$. Si sa che

$$\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{p(x)}{q(x)}=\frac{a}{b}$$

e si sa che

$$\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} < \frac{a}{b} \forall x>0$$

Possiamo darlo per buono? Cosa dobbiamo dimostrare? Come?
Io pensavo di sfruttare questo fatto: detto $p(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0$, allora $p(x)\sim a_nx^n$ ("dimostrazione" veloce: $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{p(x)}{ax^n}= \lim_{x \to + \infty}1+\frac{a_{n-1}}{a_nx}+\dots+\frac{a_0}{a_nx^n}=1$) e quindi poi dire $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x \to + \infty} \frac{a_nx^n}{b_nx^n}=\frac{a_n}{b_n}$.
Ma non saprei dire il perché formale di alcuni (tutti?) i passaggi. Quindi, riallacciandomi all'altro topic,

ma_go ha scritto:uno l'analisi deve studiarsela per bene, a tempo debito, e sotto una guida sicura (di un ottimo libro o di un prof)

qual è una guida abbastanza sicura e consigliata?

Chiedo scusa, ma se i 2 polinomi avessero diverso da zero solo il coefficiente del termine di grado $ n $ , allora non sarebbe mai verificata la disuguaglianza $ \frac{p(x)}{q(x)} < \frac{a}{b}$ , ma solo l'uguaglianza .

Sob ... perché questo improvviso interesse per l'analisi? Comunque
1. la guida sicura è un ottimo libro o un insegnante competente (come ha detto ma_go tra parentesi) ... il problema è che in nessuno dei due casi si possono prendere pezzetti di informazione, ma bisogna seguire un percorso che parte dall'inizio e arriva fino al punto a cui si è interessati, e questo è lungo.
2. credo che la domanda originale fosse: supponiamo di dar per buono il limite e supponiamo di sapere questa informazione in più, cioè che $p(x)/q(x)< a/b$ per ogni $x$, allora è vero che...?

In breve, come l'hai detta, la risposta è no e il controesempio è già stato fatto.

Quello che è vero è questo: ci sono due casi
i. q(x) non si annulla mai
se $q(x)$ non si annulla mai, la funzione $p(x)/q(x)$ ha un minimo da qualche parte (e la dimostrazione di questo non è ovvia); chiamiamo $A$ il valore minimo e sia $x_0$ tale che $p(x_0)/q(x_0)=A$. Adesso, prendiamo un numero reale $c\in [A, a/b)$; poiché $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}p(x)/q(x)=a/b$, allora esiste almeno un punto $x_1$ tale che $p(x_1)/q(x_1)>c$. Per il teorema dei valori intermedi (altro fatto non ovvio da sapere), si ha che tra $x_0$ e $x_1$ (che non so come sono ordinati, ma posso - perché? - supporre che $x_0<x_1$) esiste un punto $y$ per cui $p(y)/q(y)=c$.
ii. $q(x)$ si annulla da qualche parte.
sia $x_0$ il più grande valore per cui $q(x_0)=0$, allora, visto che $p(x)/q(x)<a/b$, si deve avere che $\displaystyle\lim_{x\to x_0}p(x)/q/(x)=-\infty$; sia ora $c\in (-\infty,a/b)$. Per il limite appena scritto, deve esistere $x_1>x_0$ tale che $p(x_1)/q(x_1)<c$ e per il limite per $x\to+\infty$, deve esistere $x_2$ tale che $p(x_2)/q(x_2)>c$, dunque ancora per il teorema dei valori intermedi c'è $y$ tra $x_1$ e $x_2$ tale che $p(y)/q(y)=c$.

Questo risponde alla domanda, però ovviamente i dettagli (importantissimi) sono tutti lasciati sottointesi.
Una cosa del genere si può dare per scontata in una gara delle olimpiadi? Ovviamente no.
Come va dimostrata, se la si vuole usare? Con tutti i dettagli che qui mancano, che sono parecchi, e con grande cautela, perché ogni uso dell'analisi viene guardato con sospetto ed ogni abuso punito con severità.