Esercizi di 'combinatoria ?' che non so risolvere

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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acs
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Esercizi di 'combinatoria ?' che non so risolvere

Messaggio da acs » 04 ago 2013, 18:49

Ho trovato su internet una lista di problemi contenuti nella sezione combinatoria, ma alcuni non riesco a risolverli (tra l'altro non dispongo delle soluzioni) e avrei bisogno di un aiuto per comprenderli. Scrivo il testo:

----Problema
Un polinomio omogeneo di grado 12 nelle variabili x, y e z viene ridotto ai minimi termini sommando tra di loro tutti gli eventuali termini simili. Qual'è il massimo numero di termini che può avere? Cosa succede se si toglie la condizione che sia omogeneo?

Credo sia piuttosto semplice, ma sono ai primi passi.

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Lasker
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Re: Esercizi di 'combinatoria ?' che non so risolvere

Messaggio da Lasker » 05 ago 2013, 10:07

Sono stra-scarso in combinatoria (questo lo ho precisato anche nel topic di presentazione :lol: ), ma provo ad aiutarti, in attesa che qualcuno smonti la mia soluzione.

Il fatto che il polinomio sia omogeneo garantisce che tutti i termini hanno lo stesso grado, in questo caso $12$.
A questo punto, devi contare tutti i possibili modi di ottenere 12 come somma ordinata di tre termini; per farlo, immagina $12$ "uno" in fila, con due separatori:
$111|11111|1111$
Il massimo numero di termini che possono comparire è il numero di permutazioni di questo "oggetto", ed è dunque:
$${14\choose 2} =\frac{14!}{2!12!}=91$$
Nel caso, più generale, in cui il polinomio non è omogeneo, basta fare lo stesso calcolo per tutti i valori non negativi $\leq 12$, ottenendo:
$${14 \choose 2}+{13 \choose 2}+...+{2 \choose 2}=\sum_{k=0}^{12} {{k+2}\choose 2}={15 \choose 3}=455$$
Credo sia giusto, ma controlla il procedimento per sicurezza :roll:
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

Triarii
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Re: Esercizi di 'combinatoria ?' che non so risolvere

Messaggio da Triarii » 05 ago 2013, 12:15

Il tuo esercizio riguarda le cosiddette combinazioni con ripetizione.
Queste vengono spesso usate, come avrai notato, quando devi partizionare un insieme di elementi indistinguibili in vari gruppi.
Uno degli esempi più classici è : "In quanti modi puoi dividere k caramelle indistinguibili fra loro a n bambini"? Come potrai notare anche qui puoi usare lo stesso ragionamento di lasker (quello delle sbarrette).
Se vuoi maggiori informazioni puoi trovare qualcosa qui http://it.wikipedia.org/wiki/Combinazio ... ipetizione
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acs
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Re: Esercizi di 'combinatoria ?' che non so risolvere

Messaggio da acs » 05 ago 2013, 18:55

Grazie dell'aiuto.
Stò cercando di capire i meccanismi alla base del procedimento, ma sembra tutto molto lineare.

Ciao.

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