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Credo sia abbastanza noto che un qualsiasi trinomio di secondo grado può essere scritto in una forma "leggermente" diversa:

$ \displaystyle ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2})= a((x+\frac{b}{2a})^2+\frac{-Δ}{4a^2}) $

Bene, potreste farmi qualche esempio di problema in cui utilizzare questo fatto?
A prima vista direi che il pregio di questa forma è che lega la scrittura del trinomio al suo "delta", ed infatti mi viene in mente un utilizzo scolastico per dimostrare che il segno di un trinomio di secondo grado con Δ negativo è concorde con il segno del suo coefficiente direttivo.

E' solo un modo equivalente di riscrivere la quadratica, viene usato di solito per mostrare che una funzione (come per esempio $x^2+x+1$) è sempre maggiore di $0$, o per trovare i punti di ottimo, senza ricorrere bovinamente alla formula di risoluzione delle equazioni di secondo grado (e' triste ma piu' della metà degli studenti italiani, anche universitari, non sa perchè quelle formule siano vere).

Notare tra l'altro che la dimostrazione della formula per le equazioni di secondo grado passa da quella riscrittura...

Mmm, si Jordan, ora che mi ricordo avevo visto una cosa del genere in uno dei video di Gobbino, però aveva sottinteso che sostanzialmente ci si riconduceva a quella forma; mi pare fosse la dimostrazione che $ x^2+xy+y^2 $ è sempre maggiore o uguale a 0 per ogni coppia (x,y) reale, infatti si completa il quadrato e svolgendo i calcoli si giunge a $ (x+\frac{y}{2})^2+3(\frac{y}{2})^2 $, che è la suddetta scrittura del trinomio con $ b=y $ e $ c=y^2 $.

Inoltre, come fa notare fph, quella scrittura si presta per una dimostrazione lampo della formula risolutiva generale delle equazioni di secondo grado.

Grazie a entrambi, ho capito cosa posso tirare fuori di buono da quella riscrittura.