Soluzioni nel piano di una disequazione

[Gi.]

Qualcuno potrebbe spiegarmi come determinare nel piano l' insieme delle soluzioni di una disequazione?
Allego un problema della fase di Febbraio del 1997 che richiede proprio questo.

Febbraio 1997.png (38.86 KiB) Visto 3310 volte

[Ouroboros]

Per prima cosa ti faccio due domande:
1- Tu vuoi determinare ciò che devi disegnare sul grafico a partire dalla disequazione, oppure ti basta saper rispondere ad un quesito a risposta multipla? (proverò comunque a rispondere ad entrambi)
2- Quanto sai sulle rappresentazioni di rette, circonferenze, ecc nel piano cartesiano? (non posso dedurlo dal tuo nome...)

Allora, innanzitutto cerchiamo di risolvere il quesito: l'area rappresenta tutti i punti (x, y) i quali risolvono la disequazione che cerchiamo. Guardiamo la figura: ovviamente è simmetrica sia rispetto all'asse y, sia rispetto all'asse x, quindi questo può essere utile per studiare i moduli, in pratica devo poter invertire i segni di x e y a piacere, pertanto inizialmente posso considerarli solo positivi per semplificare tutto. Osserviamo che la figura ha un lato esattamente orizzontale: questo significa che posso variare le x ma la y è fissa sullo stesso valore... quindi, fino ad un certo valore x = n, la x nella nostra disequazione non deve essere presente: il suo valore non deve essere influente sul risultato, che deve essere determinato sempre da una y fissa...
capiamo subito che il primo caso (A) non è valido: se tengo fissa una y valida (per esempio 0,5) non posso variare le x a piacere, o esse condizionerebbero anche la y (infatti, per y = 0,5 posso prendere x = 0,1, 0,5, 1… però se x = 0,5 potrei prendere anche y = 1, punto non compreso se fisso come "tetto" y = 0,5, e lo stesso discorso lo potrei fare per qualunque y). Lo stesso ragionamento in pratica vale per quelle disequazioni in cui la x "non va via", cioè le prime due. In ciascuna delle altre tre opzioni esistono dei casi in cui le x "se ne vanno", e cioè
x<y nella C dà come risultato 2y<4
x<1 nella D dà come risultato y+2<4
x<2y nella E dà come risultato 2y<4
(tutto questo considerando sempre sia x>0 che y>0 e trascurando gli uguali nelle disequazioni, non so come scriverli...)
Ora, la prima e la terza disequazione verrebbero diversamente rappresentate nel grafico. Infatti (e qui non sarò chiaro se non conosci la rappresentazione delle rette nel piano cartesiano...) la C, nel caso che inverte il modulo (x>y) è 2x<4, perciò una retta all'altezza 2 (e invece il grafico si inclina, non è orizzontale), nella E, per x>2y, ho la disequazione y<-x+2, una retta inclinata a 45° che non corrisponde al disegno. Nella D, invece, per x>1 ho y < -2x +4, una retta che "rispetta" il lato obliquo del disegno.
In pratica, se devo disegnare l'insieme delle soluzioni di una disequazione, devo disegnare il grafico associato alla disequazione e considerare la parte sottesa da esso... ovviamente questo non è molto semplice con i moduli, ma con qualche esempio più facile... ad esempio, i punti che risolvono la disequazione $ x^2+y^2<1 $ sono i punti interni alla circonferenza (esclusa) di raggio uno e centro O.

Poichè non sono sicuro di essermi spiegato molto bene (data l'ora...) chiedimi pure chiarimenti.

[Gi.]

Credo di aver capito.
Comunque, come avrai intuito, è la presenza dei valori assoluti a crearmi problemi (o per meglio dire, il valore assoluto "spezzettato" tra i vari termini) nella rappresentazione. Quando parlo di valori assoluti "spezzettati" tra i vari termini intendo espressioni del tipo $ |2x|+|y|\le4 $, perchè ad esempio $ y\ge|x^2-1| $ la so rappresentare senza problemi (rappresento $ y=x^2-1 $, ribalto il grafico dove finisce nella parte negativa delle y e prendo la parte richiesta del piano). In ogni caso, grazie.

[Ouroboros]

Infatti, per ciascuna bisognava considerare mille casi, per questo è fondamentale considerare almeno inizialmente solo il primo quadrante del grafico. Per provare a rappresentare una disequazione come quella scritta da te, io procederei così: la scriverei in modo da avere una disequazione che mi rappresenti graficamente qualcosa di conosciuto (in questo caso |y|<4-|2x|), poi trascurerei momentaneamente il modulo della y (quindi in pratica considero y positivo) e rappresento la disequazione, poi ribalto. Sicuramente è più difficile se la y è nel modulo con la x (come la C): in quel caso credo che dovresti dividere il grafico secondo la "condizione" dei moduli (in quel caso y>x) e svolgere le rappresentazioni "sopra" e "sotto" la retta...