Dimostrare per induzione che $ n^2>10n $ per $ n $ grandi.
Io ho fatto:
L'ho verificato per $ n=11 $:
$ 121>110 $
Poi, assumendo come ipotesi $ n^2>10n $, ho sostituito $ n+1 $ a $ n $, per poter così verificare che valga per qualsiasi numero.
$ (n+1)^2>10*(n+1) --> n^2+2n+1>10n+10 $
E ora come faccio? So usare il principio di induzione per equazioni.. è il maggiore il problema, e anche che non deve valere per qualsiasi n, ma per n "grandi"
Grazie in anticipo
Esercizio sul principio di induzione
Esercizio sul principio di induzione
“SE ASCOLTO DIMENTICO, SE GUARDO IMPARO, SE FACCIO CAPISCO”
Re: Esercizio sul principio di induzione
Intanto scrivere così è fuorviante...
Tu ASSUMI che sia vero che $n^2>10n$. Vuoi dimostrare la stessa cosa con $n+1$ al posto di $n$; comincia a scrivere ad esempio il membro sinistro:
$$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
e per l'ipotesi che hai assunto, $n^2>10n$, quindi
$$n^2+2n+1>10n+2n+1$$
Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$, ma infatti, se $n>10$, allora $2n+1>21>10$, quindi
$$10n+2n+1>10n+10$$
e dunque mettendo tutto insieme
$$(n+1)^2=n^2+2n+1>10n+2n+1>10n+10=10(n+1).$$
Poi, nel futuro ti consiglio di usare la funzione cerca del forum:
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Tu ASSUMI che sia vero che $n^2>10n$. Vuoi dimostrare la stessa cosa con $n+1$ al posto di $n$; comincia a scrivere ad esempio il membro sinistro:
$$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
e per l'ipotesi che hai assunto, $n^2>10n$, quindi
$$n^2+2n+1>10n+2n+1$$
Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$, ma infatti, se $n>10$, allora $2n+1>21>10$, quindi
$$10n+2n+1>10n+10$$
e dunque mettendo tutto insieme
$$(n+1)^2=n^2+2n+1>10n+2n+1>10n+10=10(n+1).$$
Poi, nel futuro ti consiglio di usare la funzione cerca del forum:
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Re: Esercizio sul principio di induzione
Grazie mille ho capito!
per "assumere" volevo dire che una volta dimostrato che se vale per $ n $ vale anche per $ n+1 $, allora se vale per 11 (facendo i calcoli), allora vale per tutti i numeri naturali, solo che non riuscivo a dimostrare che valeva per $ n+1 $ . Grazie ancora!
Si, avevo visto gli altri esempi sull'induzione, ma fare un esercizio (questo) da sola non ci riuscivo..
per "assumere" volevo dire che una volta dimostrato che se vale per $ n $ vale anche per $ n+1 $, allora se vale per 11 (facendo i calcoli), allora vale per tutti i numeri naturali, solo che non riuscivo a dimostrare che valeva per $ n+1 $ . Grazie ancora!
Si, avevo visto gli altri esempi sull'induzione, ma fare un esercizio (questo) da sola non ci riuscivo..
“SE ASCOLTO DIMENTICO, SE GUARDO IMPARO, SE FACCIO CAPISCO”
Re: Esercizio sul principio di induzione
Io non stavo contestando l'uso del verbo assumere, mi preoccupavo di dirti che devi scrivere in modo diverso le uguaglianze che prendi per vere da quelle che vuoi dimostrare.
Re: Esercizio sul principio di induzione
ah si terrò presente, sono ancora molto poco pratica con queste cose
“SE ASCOLTO DIMENTICO, SE GUARDO IMPARO, SE FACCIO CAPISCO”
Re: Esercizio sul principio di induzione
E' sufficiente maggiore o uguale..EvaristeG ha scritto:Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$..
The only goal of science is the honor of the human spirit.