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Esercizio sul principio di induzione

Inviato: 24 feb 2013, 16:19
da _Ipazia_
Dimostrare per induzione che $ n^2>10n $ per $ n $ grandi.
Io ho fatto:
L'ho verificato per $ n=11 $:
$ 121>110 $
Poi, assumendo come ipotesi $ n^2>10n $, ho sostituito $ n+1 $ a $ n $, per poter così verificare che valga per qualsiasi numero.
$ (n+1)^2>10*(n+1) --> n^2+2n+1>10n+10 $
E ora come faccio? So usare il principio di induzione per equazioni.. è il maggiore il problema, e anche che non deve valere per qualsiasi n, ma per n "grandi" :(
Grazie in anticipo :)

Re: Esercizio sul principio di induzione

Inviato: 24 feb 2013, 16:24
da EvaristeG
Intanto scrivere così è fuorviante...
Tu ASSUMI che sia vero che $n^2>10n$. Vuoi dimostrare la stessa cosa con $n+1$ al posto di $n$; comincia a scrivere ad esempio il membro sinistro:
$$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
e per l'ipotesi che hai assunto, $n^2>10n$, quindi
$$n^2+2n+1>10n+2n+1$$
Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$, ma infatti, se $n>10$, allora $2n+1>21>10$, quindi
$$10n+2n+1>10n+10$$
e dunque mettendo tutto insieme
$$(n+1)^2=n^2+2n+1>10n+2n+1>10n+10=10(n+1).$$

Poi, nel futuro ti consiglio di usare la funzione cerca del forum:
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Re: Esercizio sul principio di induzione

Inviato: 24 feb 2013, 16:39
da _Ipazia_
Grazie mille ho capito!
per "assumere" volevo dire che una volta dimostrato che se vale per $ n $ vale anche per $ n+1 $, allora se vale per 11 (facendo i calcoli), allora vale per tutti i numeri naturali, solo che non riuscivo a dimostrare che valeva per $ n+1 $ . Grazie ancora!
Si, avevo visto gli altri esempi sull'induzione, ma fare un esercizio (questo) da sola non ci riuscivo..

Re: Esercizio sul principio di induzione

Inviato: 24 feb 2013, 17:25
da EvaristeG
Io non stavo contestando l'uso del verbo assumere, mi preoccupavo di dirti che devi scrivere in modo diverso le uguaglianze che prendi per vere da quelle che vuoi dimostrare.

Re: Esercizio sul principio di induzione

Inviato: 24 feb 2013, 17:40
da _Ipazia_
ah si terrò presente, sono ancora molto poco pratica con queste cose

Re: Esercizio sul principio di induzione

Inviato: 24 feb 2013, 19:20
da jordan
EvaristeG ha scritto:Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$..
E' sufficiente maggiore o uguale..