punti notevoli del triangolo

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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nic.h.97
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punti notevoli del triangolo

Messaggio da nic.h.97 » 30 nov 2012, 21:11

Come viene dimostrato il fatto che , ad esempio , le 3 bisettrici del triangolo si incontrino in un unico punto?

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Drago96
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Re: punti notevoli del triangolo

Messaggio da Drago96 » 30 nov 2012, 21:16

Beh, per esempio la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai due lati... ;)
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nic.h.97
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Re: punti notevoli del triangolo

Messaggio da nic.h.97 » 02 dic 2012, 11:57

Drago96 ha scritto:Beh, per esempio la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai due lati... ;)
e come si ricava da cio' il fatto che si incontrino tutti e 3 nello stesso punto?

E per gli altri punti notevoli oltre all'incentro?

Kopernik
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Re: punti notevoli del triangolo

Messaggio da Kopernik » 02 dic 2012, 15:41

Il fatto che sia le mediane, sia le altezze, sia le bisettrici di un triangolo siano concorrenti è una conseguenza del teorema di Ceva. Se vi interessa approfondire l'argomento, consiglio http://www.lorenzoroi.net/geometria/Ceva.html.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

EvaristeG
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Re: punti notevoli del triangolo

Messaggio da EvaristeG » 11 dic 2012, 18:42

Beh, la questione è più complicata (ovviamente) di così... allora, intanto NON C'E' un modo standard di dimostrare che tre rette concorrono, in un triangolo o meno.
Poi, a volte certi punti non sono "definiti" a partire da tre rette, ma da altre proprietà, oppure le tre rette date nella definizione non passano per i vertici...provo a fare uno sketch di quel che si trova in giro.

1. Teniamoci a distanza
Considera il triangolo $ABC$ e la bisettrice $AD$. Come brevemente osservato da Drago96, si ha che $AD=\{P : d(P, AB)=d(P,AC)\}$; similmente se $BE$ è bisettrice, si ha $BE=\{P : d(P, AB)=d(P, BC)\}$. Intersechiamole (perché due bisettrici di sicuro si intersecano, vero?!). Vogliamo $P$ tale che $d(P,AB)=d(P,AC)$ e $d(P,BC)=d(P,AB)$, ma allora
$$d(P,BC)=d(P, AB)=d(P,AC)\;.$$
quindi per questo punto $P$ si ha anche $d(P, BC)=d(P,AC)$, il che implica (!) che $P$ sta anche sull'altra bisettrice, $CF=\{P : d(P,AC)=d(P, BC)\}$.

Esercizio 1: Considera l'insieme $\mathcal{L}$ dei punti $P$ interni al triangolo $ABC$ tali che $d(P, AB)=k\cdot d(P, AC)$, per $k>0$.Cos'è? Un elfo? Uno gnomo? Una circonferenza?

Esercizio 2: Considera gli insiemi $\mathcal{L}=\{P : d(P, AB)=k\cdot d(P, AC)\}$ e $\mathcal{L}'=\{P : d(P, BC)=h\cdot d(P, AB)\}$ per $h,k>0$. Chiama $Q$ un punto dell'intersezione, riesci a calcolare $d(Q, AC)/d(Q, BC)$?

Esercizio 3: Quando i tre insiemi (che ormai s'è capito cosa sono eh?)
$\{P : d(P, AB)=k\cdot d(P, AC)\}$, $\{P : d(P, BC)=h\cdot d(P, AB)\}$, $\{P : d(P, AC)=j\cdot d(P, BC)\}$
si incontrano tutti e tre in un punto? Per quali condizioni su $k,h,j$?

2. Il Teorema di Ceva
Questo mostro sacro della geometria dice che in un triangolo $ABC$, dati $D$ su $BC$, $E$ su $CA$, $F$ su $AB$,
i segmenti $AD$, $BE$, $CF$ concorrono $\Leftrightarrow$ $BD\cdot CE\cdot AF=DC\cdot EA\cdot FB$.
La dimostrazione la trovi un po' dovunque, basta cercare (ma non è lontanissima dall'esercizio 3 di cui sopra). L'equazione di destra può anche essere scritta come
$$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\;.$$

Ora, ovviamente questo dimostra che le mediane concorrono: in quel caso, $D$, $E$, $F$ sono i punti medi e quindi $BD=DC$, $CE=EA$, $AF=FB$; questo dimostra anche che le bisettrici concorrono, basta sapere che, se $AD$ è bisettrice, $BD/DC=BA/AC$ e così via e poi sostituire. Per le altezze c'è qualche conto in più da fare.

Esercizio 1: Sia $ABC$ un triangolo acutangolo, sia $D$ il piede dell'altezza da $A$ su $BC$ e sia $D'$ il suo simmetrico rispetto al punto medio di $BC$. Definiamo allo stesso modo $E'$ e $F'$ sugli altri lati. Dimostrare che $AD'$, $BE'$, $CF'$ concorrono.

Esercizio 2: Sia $ABC$ un triangolo e siano $D$, $E$, $F$ i punti in cui la circonferenza inscritta è tangente ai lati. Dimostrare che $AD$, $BE$, $CF$ concorrono.

...e un sacco d'altri.

3. Diritti del retto (l'angolo!)
Considera un triangolo $ABC$ e prendi tre punti a caso $D$, $E$, $F$ nel piano.
Le perpendicolari da $D$ a $BC$, da $E$ ad $AC$, da $F$ ad $AB$ concorrono se e solo se $BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2$.
La dimostrazione di questo simpatico fatto è, in sostanza, il teorema di Pitagora fatto e rifatto un sacco di volte. A volte questo teorema è attribuito a Carnot.

Per le altezze, si ha che loro sono le perpendicolari da $A$ a $BC$, da $B$ ad $AC$, da $C$ ad $AB$, quindi, poiché
$$AB^2+CB^2+AC^2=BC^2+BA^2+CB^2$$
esse concorrono.

Anche gli assi dei lati, essendo le perpendicolari passanti per i punti medi, concorrono, in quanto l'equazione diventa
$$BC^2/4+CA^2/4+AB^2/4=BC^2/4+CA^2/4+AB^2/4$$
che sembra proprio vera!

Esercizio 1: Sia $D$ su $BC$ tale che $AB+BD=AC+CD$ e definiamo allo stesso modo $E$ su $AC$ e $F$ su $AB$. Dimostrare che le perpendicolari da $D$ a $BC$ ,da $E$ a $AC$, da $F$ a $AB$ concorrono.

Esercizio 2: Sia $D$ l'intersezione delle bisettrici esterne di $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ ($D$ si dice excentro opposto ad $A$). E definiamo allo stesso modo $E$ e $F$. Dimostrare che le perpendicolari da $D$ a $BC$ ,da $E$ a $AC$, da $F$ a $AB$ concorrono.

4. Supercazzole
C'è poi una serie di modi per dimostrare che certa roba concorre che si basano sui precedenti risultati e sulle loro "simmetrie", ad esempio prova un po' a cercare "coniugato isogonale", oppure "coniugato isotomico".
Ci sono poi metodi che arrivano dalla geometria proiettiva, come il teorema di Desargues, il teorema di Pappo, il teorema di Pascal e il teorema di Brianchon (anche di questi puoi leggerti l'enunciato senza problemi).
Poi, a volte basta semplicemente trovare il triangolo giusto dentro cui leggere il problema... ma questa è un'altra storia!

Ti ho risposto?

nic.h.97
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Re: punti notevoli del triangolo

Messaggio da nic.h.97 » 15 dic 2012, 14:40

intanto ti rispondo alla 1. che non ci ho messo poco per capirli.;
Es.1
con $ k>0 $ l'insieme $ L $ è un semplice segmento che parte da un vertice e tocca in un punto sul lato opposto e quindi un ceviano.
Questo , perchè , prendendo 1 punto P si formano 2 triangoli. e $ d(P,AB)=kd(P,AC) $ e quindi $ k=\frac{d(P,AB)}{d(P,AC} $.
Unendo P , con il vertice A , prolunghiamo poi il segmento che esce fuori e su di esso prendiamo un altro punto $ P $ , abbiamo cosi, altri 2 triangoli simili ai primi 2 e il rapporto quindi, $ k $ è lo stesso.
Es.2
allora , $ d(P,AC)=\tfrac{d(P,AB)}{k} $ e $ d(P,BC)=hd(P,AB) $.
$ P $ , indica un generico punto e quindi lo possiamo sostituire con $ Q $
quindi , $ \tfrac{d(Q,AC)}{d(Q,BC}=\tfrac{d(P,AB)}{k}*\tfrac{1}{hd(P,AB)} $
che diventa $ \frac{1}{hd} $
Es.3
La condizione necessaria è la seguente:
$ h*k=\frac{1}{j} $
$ j*k=\frac{1}{h} $
$ h*j=\frac{1}{k} $
Perchè?
$ k=\frac{d(P,AB)}{d(P,AC} $
$ h=\frac{d(P,BC)}{d(P,AB} $
$ j=\frac{d(P,AC)}{d(P,BC} $
da qui notiamo che il valore di uno delle 3 variabili dipende dalle altre 2. E un modo di legarle assieme è quello la' sopra.
Da notare che$ khj=1 $

EvaristeG
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Re: punti notevoli del triangolo

Messaggio da EvaristeG » 15 dic 2012, 17:12

In media, ok!
Nell'es2 c'è una P dove dovrebbe esserci una Q, ma si capisce.
E sì, la condizione che volevo nell'es3 è proprio hkj=1, che ricorda mooolto da vicino il teorema di Ceva (ed anzi, è il teorema di ceva, modulo qualche conticino ino ino).
Spero noterai che per h=j=k=1 si hanno le bisettrici e ti invito, anche senza scriverle qui, a trovare h,k,j per altre ceviane note che si incontrano (mediane, altezze, cose che passano per il circocentro, etc).

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