Fattorizzazione di polinomi a più variabili

[dario2994]

Sono colmo di domande:
1) È vero che i polinomi in più variabili (negli interi o non so... nei reali o decidete voi dove) si fattorizzano in modo unico? Se sì come si dimostra?
2) Se ho 2 polinomi in più variabili e la risposta alla 1 è sì come suppongo, qualcuno mi spiega o mi linka un algoritmo per trovarne l'mcd?

[ma_go]

1) sì: il wiki è tuo amico.
2) a occhio direi: dividi una variabile per volta, vedendo $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ come $(\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_{n-1}])[x_n]$.

[dario2994]

Non ho capito l'algoritmo... Mi fai un esempio? Tipo come calcolo $(a^2+b^2,ab)$ ?

[ma_go]

scusa, parlavo di divisione (per motivi che mi sono oscuri). invece non puoi parlare di MCD in generale, perché non sei in un PID, ma solo in un UFD. questo è vero anche quando parli di $\mathbb{Z}[x]$: non sai dire cos'è l'MCD di 2 e x.
se ti interessano queste cose, si va a parlare di algebra commutativa, ma secondo me già sull'herstein si fanno queste cose.

[dario2994]

Spiego meglio: ho un programma che fa i conti con polinomi... il problema è che per lui $\frac{x+y}{x+y}$ resta tale e quale. Questo fa esplodere i conti molto più di quanto ci si aspetterebbe... portando a disastri come conti che un uomo impiegherebbe 15 minuti a concludere, con le giuste semplificazioni, e che invece il pc non finisce manco in 2 secoli (ad esempio perchè non gli basta la ram per tenerci i coefficienti). Allora io vorrei insegnargli a semplificare.
Non capisco come sia possibile che non esista l'mcd (per me l'mcd tra 2 e $x$ in $\mathbb{Z}[x]$ è 1) ma mi fido ciecamente. Allora ripropongo la domanda... cerco un algoritmo che pigliati 2 polinomi in più variabili mi trova un polinomio, se esiste, che li divide entrambi. (poi ripeterò quest'algoritmo finchè trova un polinomio che divide entrambi).

[ma_go]

Non capisco come sia possibile che non esista l'mcd (per me l'mcd tra 2 e $x$ in $\mathbb{Z}[x]$ è 1) ma mi fido ciecamente.

e fai male. il wiki mi dà torto. però magari leggere l'herstein male non fa. diciamo comunque che in un pid si può dare una definizione più snella.
per quanto riguarda il nocciolo della questione, invece, non so aiutarti. google non è tuo amico?

[EvaristeG]

Beh, è un po' un casino... ci sono vari algoritmi, nessuno dei quali semplice. Cerca un po' "multivariate gcd" su google, magari aggiungendoci algorithm.