Inversione circolare

[Hawk]

Sto studiando questa particolare trasformazione geometrica, ma non riesco a capire in quali situazioni può tornare utile. Potreste linkarmi una dispensa o degli esercizi, o ancora situazioni particolari?

[Gottinger95]

Yuppi, sapevo che la dispensuccia sulle inversioni che non ho mai il coraggio di buttare prima o poi sarebbe servita!

Comunque, per entrare un po' nella logica dell'inversione, ti suggerisco questo iter:
1. Prova a dimostrare proprietà elementari e teoremi di base;
2. Risolvi qualche problema di costruzione, insomma sullo stampo di "Trova la circonferenza taaale che..." bla bla bla, in cui l'inversione torna utile se ci sono circonferenze da abbattere;
3. Risolvi VERI problemi dimostrativi, e questo è arduo, sia trovare i testi che risolverli con la giusta inversione.

Ti posto quello che ho di ogni punto. Qualche volta mi scapperà di chiamare cerchio fondamentale il cerchio dell'inversione, O il suo centro, r il suo raggio e P' l'inverso di P.
1. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
COSTRUZIONE GEOMETRICA: Sia P un punto interno al cerchio fondamentale; consideriamo da P la perpendicolare ad OP, sino ad incontrare il cerchio in H,K; le tangenti al cerchio in H,K si incontrano nel punto P'. Dimostrare perchè funziona.
PROPRIETA' I : l'inversione trasforma rette passanti per O in sè stesse (-.- già..).
PROPRIETA' II: Una retta non passante per il centro si trasforma in un cerchio passante per il centro.
HINT 1:

Testo nascosto:

ragiona sul segmento distanza tra retta e centro

HINT 2:

Testo nascosto:

http://it.wikipedia.org/wiki/Rette_antiparallele --> riesci a trovarne nel tuo disegno?

PROPRIETA' III: un cerchio non passante per il centro si trasforma in un cerchio pure non passante per il centro.
PROPRIETA' IV Due punti qualunque e i loro inversi sono allineati o conciclici.
Questa è tosta, ma ce la puoi fare
PROPRIETA' V: l'inversione conserva le grandezze degli angoli, cioè è una trasformazione conforme. In caso non lo sapessi, l'angolo formato da due curve nel punto P in cui si incontrano equivale all'angolo che forano le tangenti delle due curve in quel punto.
HINT:

Testo nascosto:

Dividi in casi!

2.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Costruire una circonferenza passante per due punti e tangente a una retta data.
b) Costruire una circonferenza passante per due punti e tangente a una circonferenza data.
c) Costruire una circonferenza passante per un punto e tangente a due circonferenze date.
d) Costruire una circonferenza tangente a tre circonferenze date passanti per un medesimo punto.
e) PROBLEMA DI APOLLONIO: Costruire una circonferenza tangente a tre circonferenze date.
HINT:

Testo nascosto:

Siano $ r_1 \leq r_2 leq r_3 $ i raggi delle tre circonferenze. E se sottraessi $ r_1 $ a tutte?

f) [Bello tossssto!] Costruire una circonferenza che tagli tre circonferenze date, passanti per un medesimo punto, sotto angoli dati.

3.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per questa sezione ne ho solo 1 che mi era venuto in mente un po' di tempo fa.
Sia ABC un triangolo, e P un punto qualsiasi sul segmento AB. Sia O l'intersezione tra l'asse del segmento AP e l'altezza condotta da A. Tracciata la circonferenza con centro in O passante per P, sia Q la sua intersezione con il segmento AC.
Dimostrare che PQBC è una quadrilatero ciclico.
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Spero di esserti stato di aiuto. Per qualsiasi problema scrivi!! Buon divertimento

[Hawk]

Ti ringrazio infinitamente Gottinger!