OliForum Matematico

Vi inoltro un dubbio che il mio professore di matematica non è riuscito a risolvere.
Se io scrivo:
$f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$
Sto sottintendendo che al variare di x la funzione assume tutti i valori reali, oppure si intende esclusivamente che i valori assunti sono compresi in $\mathbb{R}$? In particolare, visto che i testi di alcuni problemi olimpici usano questa notazione, quale delle due interpretazioni devo usare come standard?
Il mio professore mi ha detto che mettevo il dito nella piaga perché "i matematici non sono riusciti a mettersi d'accordo su questa notazione", e quindi allo stesso modo si può rappresentare indifferentemente l'una o l'altra situazione. Ma il mio professore è un fisico...

La seconda, e per quanto ne so, tutti i matematici che conosco sono d'accordo. Il tuo professore avrà preso un abbaglio. In genere, per dire che la funzione raggiunge tutti i valori in arrivo (cioè è suriettiva) si usa la notazione $ f:X\twoheadrightarrow Y $, e similmente si usa la notazione $ f:X\hookrightarrow Y $ per dire che la funzione è iniettiva (manda valori in partenza diversi in valori in arrivo diversi). Se scrivi semplicemente $ f:X\to Y $ stai semplicemente dicendo che $ f $ è una funzione, senza ulteriori ipotesi.

Sottoscrivo pienamente; la seconda che hai detto è universalmente accettata.

Già che se ne parla, vale la pena anche di specificare che il primo $\mathbb{R}$ a sinistra della freccia, in tutto il mondo tranne che per un po' di professori di liceo, significa che la funzione è definita per tutti gli $x$ reali, senza eccezione (ad esempio $f(x)=1/x$ non è una funzione da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, perché non è definita per $x=0$).

Grazie mille per la delucidazione

fph ha scritto: Già che se ne parla, vale la pena anche di specificare che il primo $\mathbb{R}$ a sinistra della freccia, in tutto il mondo tranne che per un po' di professori di liceo, significa che la funzione è definita per tutti gli $x$ reali, senza eccezione (ad esempio $f(x)=1/x$ non è una funzione da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$, perché non è definita per $x=0$).

mi è stato cancellato il post per il down del forum, sadness.
comunque non è vero, vi sono alcuni logici (vedi il libro di hrbacek & jech) che definiscono le funzioni solo con il vincolo che ad uno stesso elemento venga associato al piu' un valore. poi per molte applicazioni uno chiaramente si limita a funzioni definite su tutto l'insieme di partenza (perchè in effetti non è granchè restrittivo).