Lo sdoppiamento in generale

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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spugna
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Lo sdoppiamento in generale

Messaggio da spugna » 14 apr 2012, 21:25

L'anno scorso a scuola ho studiato la regola dello sdoppiamento per trovare la retta tangente a una conica in un punto dato. La mia domanda è: con opportune sostituzioni, questa regola può essere applicata anche a curve di grado superiore?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

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julio14
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Re: Lo sdoppiamento in generale

Messaggio da julio14 » 15 apr 2012, 01:08

Si, si può. Il concetto di derivata è quello che formalizza e risolve il problema di "trovare le tangenti", e di cui la cosiddetta "regola dello sdoppiamento" è una facile conseguenza che viene insegnata senza mostrare ciò che c'è dietro. Tu che classe fai? Mi pare che le derivate vengano spiegate al quart'anno, ma non ci giurerei.

doiug.8
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Re: Lo sdoppiamento in generale

Messaggio da doiug.8 » 15 apr 2012, 01:31

In generale, l'equazione della retta tangente al grafico della funzione $y=f(x)$ nel suo punto $x_0$ è $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$. Tuttavia, per le curve algebriche è possibile calcolare la retta tangente senza far uso delle derivate.
In particolare, per le curve algebriche di ordine 2, ovvero le coniche, vale la legge di sdoppiamento.

spugna
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Re: Lo sdoppiamento in generale

Messaggio da spugna » 15 apr 2012, 10:56

julio14 ha scritto:Si, si può. Il concetto di derivata è quello che formalizza e risolve il problema di "trovare le tangenti", e di cui la cosiddetta "regola dello sdoppiamento" è una facile conseguenza che viene insegnata senza mostrare ciò che c'è dietro. Tu che classe fai? Mi pare che le derivate vengano spiegate al quart'anno, ma non ci giurerei.
Le derivate non le ho ancora fatte (secondo me si fanno in quinta e io sono in quarta), ma non sto chiedendo di spiegarmele.
Quello che intendo dire è: partendo dall'equazione di una conica, per trovare la retta tangente mi basta sostituire

$x^2 \rightarrow x_0x$

$y^2 \rightarrow y_0y$

$xy \rightarrow \dfrac{x_0y+y_0x}{2}$

$x \rightarrow \dfrac{x+x_0}{2}$

$y \rightarrow \dfrac{y+y_0}{2}$

dove $(x_0,y_0)$ è il punto di tangenza. Ma esistono sostituzioni valide anche per termini di grado >2, ad esempio $x^3$ o $xy^2$?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

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