Dimostrazione dei problemi

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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karlosson_sul_tetto
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Dimostrazione dei problemi

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 29 dic 2011, 16:14

Stavo risolvendo dei esercizi, quando vidi quest problema(facilissimo, di tipo scolastico):
Dimostrare che la funzione: $ f(x)= x^3 + \frac {6}{x^5-x} $ è una funzione dispari.
E chiaramnte visibile che $ x^3 $ è una funzione dispari, come $ \frac {6}{x^5-x} $. Però mi è sorto un dubbio. Se in qualche competizione con la dimostrazione dei problemi (Kangourou, Febbraio, Cesenatico) scrivessi:
Dato che $ \frac {6}{x^5-x} $ è la funzione dell'iperbole, e poiche il denominatore è differenza di due potenze di x dispari, quindi pure la funzione è dispari
Andrebbe bene come dimostrazione oppure devo scrivere una cosa barbosa tipo:
Prendiamo due numeri positivi, $ x_1 $ e $ x_2 $, tali che $ x_1<x_2 $ blablabla
L'idea è a stessa, ma valgono entrambe come "dimostrazione"?
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Re: Dimostrazione dei problemi

Messaggio da fph » 29 dic 2011, 16:51

1) "è la funzione dell'iperbole" non vuol dire niente.
2) Prendere due $x_1<x_2$ non c'entra niente con il dimostrare che una funzione è dispari. La prima cosa che devi chiederti visto l'esercizio è "qual è la definizione di funzione dispari?"
3) "poiché nella definizione compaiono solo potenze dispari, la funzione è dispari" può andare
4) "per ogni $x$ si ha $f(-x)=(passaggi)=-f(x)$" va ancora meglio.
5) al solito, il livello di dettaglio che si chiede dipende anche dalla difficoltà dell'esercizio e da quanta parte dell'esercizio (in percentuale) è. Se il testo dell'esercizio è "dimostrare che la funzione tale è dispari", o "dimostrare che il grafico della funzione tale è simmetrico rispetto all'origine", allora devi essere dettagliato. Se l'esercizio è una disuguaglianza incasinata e dimostrare che la funzione è dispari è un minimo pezzo di un lemma, allora puoi farlo molto velocemente o anche saltarlo se è davvero ovvio rispetto al resto (ma in ogni caso cita il fatto che lo usi: "poiché la funzione tale è dispari...")
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Re: Dimostrazione dei problemi

Messaggio da karlosson_sul_tetto » 29 dic 2011, 17:06

Gazie mille! :D
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Re: Dimostrazione dei problemi

Messaggio da Claudio. » 29 dic 2011, 19:46

3) "poiché nella definizione compaiono solo potenze dispari, la funzione è dispari" può andare
Non mi pare vada bene per quelle fratte...

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Re: Dimostrazione dei problemi

Messaggio da Mist » 29 dic 2011, 21:03

Claudio. ha scritto:
3) "poiché nella definizione compaiono solo potenze dispari, la funzione è dispari" può andare
Non mi pare vada bene per quelle fratte...
Due fatti: la somma di funzioni dispari dà una funzione dispari. Dimostrazione: siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni dispari e sia $h(x)=f(x)+g(x)$ Allora $h(-x) = f(-x)+g(-x) = -[f(x)+g(x)] = -h(x)$.
Una funzione dispari composta ad un altra funzione dispari dà una funzione dispari. Dimostrazione: Se f e g sono dispari, sia $h(x) = f[g(x)]$. Allora $h(-x) = f[g(-x)] = f[-g(x)] = -f[g(x)] = -h(x)$

Usiamo questi due fatti, notando che basta mettere al posto delle ora, mettiamo $h(x) = \sum_{j=1}^{n}x^{a_j}$ con $a_{j}\in 2\mathbb{Z}+1$ e $r(x) = \frac{1}{x}$. Per il primo fatto $h$ è dispari; per il secondo fatto $r(h(x))$ è dispari, quindi quello che ha detto fph è vero anche per le fratte...
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Re: Dimostrazione dei problemi

Messaggio da Claudio. » 29 dic 2011, 22:06

?? $\frac xx$ non mi sembra molto dispari...in $r(h(x))$ non compaiono solo potenze dispari....In generale il prodotto di due funzioni dispari è pari, quindi se in una fratta compaiono solo potenze dispari significa che sia il numeratore che il denominatore sono dispari, e proprio perchè $r(h(x))$ è dispari la funzione fratta è pari.

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Re: Dimostrazione dei problemi

Messaggio da fph » 30 dic 2011, 14:25

Good catch, ritiro l'affermazione sulle sole potenze dispari. Così in effetti non funziona. :) Si potrebbe dimostrare che ci sono un po' di "configurazioni" in cui avere solo potenze dispari è condizione sufficiente per l'essere dispari, ma sono gli stessi casi in cui si fa tutto anche a mano in un nanosecondo calcolando $f(-x)$ e portando fuori i segni meno.
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