Disuguaglianze

[Hawk]

Ultimamente mi sto occupando di algebra, soprattutto di disuguaglianze. Il fatto è che quando leggo anche qui sul forum: applico AM-GM, Chauchy-Schwarz ecc. non capisco cosa dovrei fare. Esempio:

Siano a,b,c e d numeri reali positivi. Dimostrare che:
$ a^3cd+b^3da+c^3ab +d^3bc\geq (a+b+c+d)abcd $

[Mist]

Boh, la disuguaglianza che hai postato si riscrive , dividendo per $abcd$, come $\displaystyle \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq a+b+c+d$ che è vera per riarrangiamento...

In che senso non capisci cosa dovresti fare ? Devi solo notare che la disuguaglianza a cui arrivi è equivalente ad una nota, come per esempio C-S o una disuguaglianza tra medie. Oppure, quando si dice "applico tale disuguaglianza" si vuol dire semplicemente che la si usa come fatto noto per ricavare qualcos'altro. Per esempio, è un fatto noto che (AM-QM) $\displaystyle a+b \leq 2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ $\forall (a,b) \in {\mathbb{R}^+}^2$. Quindi, se metto al posto di $a,b$ rispettivamente mettiamo $|\sin{x}|$ e $|\cos{x}|$, ottengo che $\displaystyle |\sin{x}|+|\cos{x}| \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$...

Boh, non mi pare d'aver centrato la domanda, dimmi tu se hai capito qualcosa di più...

[dario2994]

Bon...
Ti propongo una soluzione ragionata fatta ora.
Prima idea: Bunching. Che se non lo sai si riassume brutalmente in "una somma con monomi più compatti batte una somma con monomi più deboli"... qui però non si applica perchè LHS non è simmetrico (vatti a vedere per bene cosa dice il bunching... non mi va di scrivertelo).
Seconda idea è AM-GM... e questa viene in mente perchè è come si dimostra il bunching, e quella cosa assomiglia a una roba bunchingabile. Ma anche questa volta tutto fallisce perchè non si riesce a scegliere bene i termini (io non ci sono riuscito) del LHS per far uscire i termini del RHS.
Terza idea, fermarsi a pensare. Uno la guarda un po' e vede che il grado è alto e il testo è brutto, rendiamolo migliore... come? Bon si vede che un po' ovunque sono presenti tutti i termini a,b,c,d quindi potrei dividere per a,b,c,d... e così faccio e viene $\displaystyle\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\ge a+b+c+d$.
Questa è chiaramente più bella del testo iniziale quindi lavoro con questa e provo a risolverla. Questa viene in molti modi.
Per riarrangiamento sulle quadruple $(a^2,b^2,c^2,d^2)$ e $\displaystyle (\frac1a,\frac1b,\frac1c,\frac1d)$ dato che RHS è l'accoppiamento che minimizza.
Per Cauchy-Schwarz sulle quadruple $\displaystyle (\frac{a^2}{b},\frac{b^2}{c},\frac{c^2}{d},\frac{d^2}{a})$ e $(a,b,c,d)$.
Per Sum of Squares perchè portando tutto a sinistra e raggruppando in modo furbo si ottiene $\displaystyle \frac{(a-b)^2}{b}+\frac{(b-c)^2}{c}+\frac{(c-d)^2}{d}+\frac{(d-a)^2}{a}\ge 0$

Bon fine...

[Hawk]

Allora cerco di essere più chiaro, la disuguaglianza di riarrangiamento mi dice:
$ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_ib_{n-i+1}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n a_ib_i $
Adesso come faccio a dire che:
$ \displaystyle\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\ge a+b+c+d $ è vera per riarrangiamento? Non capisco come fare a sfruttarla, qual è la relazione che c'è tra le due disuguaglianze.
Vi ringrazio della pazienza, sono proprio agli inizi.

[Claudio.]

Allora quando tu scrivi in generale la formula del riarrangiamento, gli $a_i$ e $b_i$ rappresentano gli elementi di due insiemi, adesso chiaramente quella disuguagliaza vale per tutti gli insiemi che rispettano certe condizioni (che variano da disuguaglianza a disuguaglianza) quindi quando si dice "è verà per riarrangiamento", significa che si riescono a costruire due(o più) insiemi tali che andando a sostiuire gli elementi di questi nella disuguaglianza in generale ritroviamo quella del testo. Adesso in questo forum molte volte non li scrivono nemmeno questi insiemi insiemi che "funzionano" perchè fa fico ma a parte gli scherzi dario ti ha esplicitato come costruire le due quadruple adatte $(a^2,b^2,c^2,d^2)$ e $\displaystyle (\frac1a,\frac1b,\frac1c,\frac1d)$, se usi questi, il primo insieme come $a_i$ e il secondo com $b$ sostituendo in quella sommatoria troverai la disuguaglianza dell'esercizio, resta solo da vedere se le quadruple rispettano le condizioni per il riarrangiamento.

[Mist]

allora, tu sai che se hai dei numeri reali puoi decidere senza perdita di generalità l'ordine che questi hanno. Nel nostro caso, assumiamo senza perdere la generalità che $a\geq b \geq c \geq d$. Da ciò consegue che $a^2 \geq b^2 \geq c^2 \geq d^2$ e che $a^{-1} \leq b^{-1} \leq c^{-1} \leq d^{-1}$. Ora pongo $(a_1,a_2,a_3,a_4) =(a^2,b^2,c^2,d^2)$ e $(b_1,b_2,b_3,b_4) =(d^{-1}a,c^{-1},b^{-1},^{-1})$ Le 4-uple sono ordinate nello stesso modo. Ora applichiamo la disuguaglianza di riarrangiamento.
$ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_ib_{n-i+1}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}\leq \displaystyle\sum_{i=1}^n a_ib_i $

Nel modo in cui l'hai scritta te, vale quando gli $ a_i$ e i $b_i$ sono ordinati nello stesso modo. Ora, siccome abbiamo che gli $a_i$ e i $b_i$ sono ordinati in modo opposto, abbiamo che se sostituiamo lì dentro otteniamo che.... Vedi se riesci a finire te XD

[Claudio.]

Testo nascosto:

allora, tu sai che se hai dei numeri reali puoi decidere senza perdita di generalità l'ordine che questi hanno.

Questo non vale solo quando è simmetrico?

[Gottinger95]

Testo nascosto:

allora, tu sai che se hai dei numeri reali puoi decidere senza perdita di generalità l'ordine che questi hanno.

Questo non vale solo quando è simmetrico?

Si, è vero. Qui si può fare perchè effettivamente lo è.

Ehi Hawk, posso darti un consiglio? Sparati un autorevole video di Gobbino sulle disuguaglianze, e dopo ti sarà tutto più chiaro non c'è nulla di meglio nei periodi di disorientamento esistenziale matematico. Ti metto il link: http://users.dma.unipi.it/gobbino/Home_ ... Index.html Vai alla sezione video sulla sinistra, paragrafo "Stage Senior 2007 - Versione Basic", quarta riga ("Diguguaglianze", cit. testuale), quinta colonna (.avi all'altezza di "Lezioni").
Se dopo averlo scaricato non riesci a vedere il video, vai al paragrafo "Informazioni tecniche" in cima in cima alla pagina e Gobbino accorrà presto in tuo aiuto Spero di essere stato chiaro!

[Claudio.]

Si, è vero. Qui si può fare perchè effettivamente lo è.

No, non è simmetrico, infatti non si può definire senza perdita di generalità un ordine in questo caso, solo che qualsiasi ordine si scelga per una quadrupla l'altra si ordina di conseguenza e viene perfettamente con il riarrangiamento.

[Hawk]

Seguirò il tuo consiglio Gottinger . Comunque voglio ringraziare tutti per la pazienza che ci hanno messo.

[bĕlcōlŏn]

Bon...
Seconda idea è AM-GM... e questa viene in mente perchè è come si dimostra il bunching, e quella cosa assomiglia a una roba bunchingabile. Ma anche questa volta tutto fallisce perchè non si riesce a scegliere bene i termini (io non ci sono riuscito) del LHS per far uscire i termini del RHS.

Volevo giusto aggiungere che c'è un metodo abbastanza automatico per trovare i pesi da usare in una eventuale AM-GM (attenzione, non funziona sempre). L'idea da usare è scrivere delle disuguaglianze ciclando i pesi, che vogliamo trovare. Diciamo che i pesi sono $(p,q,r,s)$. Allora per AM-GM pesata si ha che
$pa^3cd + qb^3da+ rc^3ab + sd^3bc \geq (p+q+r+s)\left(a^{\frac{3p+q+r}{p+q+r+s}}b^{\frac{3q+r+s}{p+q+r+s}}c^{\frac{p+3r+s}{p+q+r+s}}d^{\frac{p+q+3s}{p+q+r+s}}\right)$
La condizione da imporre è sugli esponenti. Quindi $\dfrac{3p+q+r}{p+q+r+s} = 2$, $\dfrac{3q+r+s}{p+q+r+s}=1$, $\dfrac{p+3r+s}{p+q+r+s}=1$ e $\dfrac{p+q+3s}{p+q+r+s}=1$. Vi risparmio i calcoli, e viene che le soluzioni di questo sistema sono la famiglia $(8s,4s,2s,s)$. Quindi prendo questi valori come pesi e sommo tutte le cicliche ottenendo:
$$
\displaystyle\sum_{cyc} 8sa^3cd + 4sb^3da + 2sc^3ab + sd^3bc \geq \displaystyle\sum_{cyc} 15s a^2bcd
$$
Tuttavia $\displaystyle\sum_{cyc} 8sa^3cd + 4sb^3da + 2sc^3ab + sd^3bc = 15s\displaystyle\sum_{cyc} a^3cd$. Sostituendo nella precedente e semplificando il $15s$ viene proprio la disuguaglianza del testo

[mattteo]

Visto che siamo in tema qualcuno può farmi una lista delle disuguaglianze più importanti da sapere. Io conosco quelle sulle medie e C-S.Grazie:)

[Hawk]

Ho da fare una domanda:
quando ho la disuguaglianza AM-GM scrivo $ \displaystyle\frac{a+b}{2}\geq \sqrt {ab} $
ma se avessi al numeratore $ a^2 $ e $ b^2 $, o comunque una potenza?

[Claudio.]

non vedo dove sia il problema...$\frac{a^2+b^2}2 \ge \sqrt{a^2b^2}$...

[karlsson_sul_tetto]

Ho da fare una domanda:
quando ho la disuguaglianza AM-GM scrivo $ \displaystyle\frac{a+b}{2}\geq \sqrt {ab} $
ma se avessi al numeratore $ a^2 $ e $ b^2 $, o comunque una potenza?

In ogni caso, puoi mettere che $ x^5+ 14x^2+5 $ sia uguale ad a...