Disuguaglianze in aritmetica modulare
Disuguaglianze in aritmetica modulare
Dati 3 reali a,b,c, io so ad esempio che $ a > b \pmod c $ e che $ f $ è una funzione crescente, posso dire che $ f(a) > f( b) \pmod {f(c)} $ oppure modulo c? E se no cosa posso dire su f(a) e f(b) ? E se invece tratto numeri interi posso dire qualcosa in più?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.
Re: Disuguaglianze in aritmetica modulare
Se hai un anello (insieme dove puoi fare somma, "sottrazione" e prodotto con le proprietà solite, magari la moltiplicazione non viene commutativa) o un corpo (dove puoi fare anche la "divisione" per numeri diversi da 0), in alcuni casi puoi metterci una struttura d'ordine "sensata", dove per sensata intendo che, oltre le solite proprietà degli ordini, rispetta anche le proprietà che ti aspetteresti dall'ordine sugli interi o sui reali, e precisamente
$a>b \Rightarrow a+c > b+c$
$a, b > 0 \Rightarrow a\cdot b > 0$
(ora come ora non mi viene in mente nessuna struttura ordinata col prodotto non commutativo, ma nemmeno una dimostrazione del fatto che la commutatività serva, quindi ti lascio col dubbio sulla necessità di imporre la commutatività)
Gli anelli $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$, così viene chiamato l'insieme delle classi di resto modulo $n$ con le operazioni di somma e prodotto, non possono avere nessuna struttura di questo tipo: infatti, poiché $1 \cdot 1 = 1 > 0$ (esercizio: dimostra che in un anello ordinato, cioè con le proprietà di sopra, i quadrati non nulli sono $>0$), per induzione ottieni anche che $n-1 > 1 > 0$ e quindi che $0> 1 >0$, assurdo.
$a>b \Rightarrow a+c > b+c$
$a, b > 0 \Rightarrow a\cdot b > 0$
(ora come ora non mi viene in mente nessuna struttura ordinata col prodotto non commutativo, ma nemmeno una dimostrazione del fatto che la commutatività serva, quindi ti lascio col dubbio sulla necessità di imporre la commutatività)
Gli anelli $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$, così viene chiamato l'insieme delle classi di resto modulo $n$ con le operazioni di somma e prodotto, non possono avere nessuna struttura di questo tipo: infatti, poiché $1 \cdot 1 = 1 > 0$ (esercizio: dimostra che in un anello ordinato, cioè con le proprietà di sopra, i quadrati non nulli sono $>0$), per induzione ottieni anche che $n-1 > 1 > 0$ e quindi che $0> 1 >0$, assurdo.
Presidente della commissione EATO per le IGO