Alur... tutto dipende da come definisci una somma infinita.
La definizione intuitiva è:
$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^na_i$
In particolare se il limite non esiste allora la somma non è determinata altrimenti hai il valore del limite.
In questo modo ottengo che la somma di Grandi non è determinata e che la somma di uni fa infinito.
Da dove escono invece i bizzarri risultati di wiki?
Il primo esce dal fatto che $\displaystyle \sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}$ per $|x|<1$ (questo con la definizione di cui sopra) (se non conosci questa identità dimostrala
). E quindi qualcuno potrebbe decidere che quando la definizione di sopra non funziona, cioè quando il limite non esiste allora assegno alla sommatoria infinita il valore di $\frac 1{1-x}$... insomma estendo la definizione (tutto ciò credo sia mooooolto più complicato da spiegare, ma credo tu ti possa felicemente accontentare). E perciò quando x=-1 posso dire che la somma fa $\frac{1}{1-(-1)}=\frac12$
Un altro modo ancora per arrivare allo stesso risultato (questo l'ho spizzato da wiki) è definire diversamente le sommatorie infinite:
$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^ka_i}{n}$ (chiamata da wiki somma di cesarò)
Anche con questa definizione se $a_i=(-1)^i$ vale che la sommatoria fa $\frac12$ (è interessante chiedersi quando le 2 definizioni risultano uguali... pensaci
)
L'altro risultato... bon è più difficile! Si sfrutta un'idea simile al primo "allargamento di definizione" di cui ho parlato sopra... solo che stavolta la sommatoria è:
$f(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^\infty i^{-x}$ (anche detta zeta di riemann (sì, proprio quella famosa
) )e non $\displaystyle \sum_{i=0}^\infty x^i$
È chiaro che la sommatoria di 1 è in qualche modo $f(0)$... e allora? Bon $f(x)$ ha un valore secondo la prima definizione che ho piazzato (quella alla terza riga) ad esempio se $x>1$ reale (se non conosci questo fatto dimostralo
) ... e questo valore si può scrivere in un altro modo in funzione di x, usando altre funzioni che in 0 continuano ad avere un valore o quasi (il limite per x in 0 almeno esiste) e quindi a $f(0)$ decido di appioppargli proprio quel valore! Che pare essere $-\frac12$ (anche qui, per capirci davvero qualche cosa credo serva un bel poco di teoria
)
Non escludo che non si capisca nulla...
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
)
