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Come si può vedere dalla mia firma, il numero $\phi$ mi piace molto, e so anche della sua correlazione con la successione di Fibonacci...
Ora sto studiando da una dispensa e mi sono imbattuto nel metodo per trovare l'n-esimo termine di una successione a partire dalla definizione ricorsiva, e come esempio c'era Fibonacci.
Quindi da quella formula mi è parso immediato il fatto noto $\lim_{n \to \infty}{F_n\over F_{n-1}}=\phi$
Come potrebbe essere una dimostrazione formale?

Io da qua: $\displaystyle{F_n={\phi^n-(1-\phi )^n\over\sqrt{5}}}$ pensavo di dire che essendo $-1<1-\phi <0$ (e da qua si vede anche che la potenza è alternativamente positiva e negativa), allora $lim_{n \to \infty}(1-\phi )^n=0$ dunque per n grandi $F_n\approx {\phi^n\over\sqrt{5}}$.
Dunque si ha che $\displaystyle{{F_{n+1}\over F_n}\approx {\phi^{n+1}\over\sqrt{5}}\cdot {\sqrt{5}\over \phi^n}=\phi}$

La mia preoccupazione è nel fatto che i limiti so solo a grandi linee cosa siano e non saprei trattarli rigorosamente...

Questa dimostrazione funziona più in generale al variare di $ F_0, F_1 $. Sia l quel limite. Allora:
$ l=lim_{n \to \infty}(\frac{F_{n+1}}{F_n})=lim_{n \to \infty}(\frac{F_n + F_{n-1}}{F_n})=lim_{n \to \infty}(1+\frac{F_{n-1}}{F_n}) $. Quindi $ l=1+\frac{1}{l} $ da cui le due soluzioni ma escludi facilmente la negativa. Così però hai supposto l'esistenza del limite e dovrebbe esistere perché la successione è monotòna crescente.

Poi in realtà la tua dim va abbastanza bene, a parte per:

Drago96 ha scritto:essendo $-1<1-\phi <0$ allora $lim_{n \to \infty}(1-\phi )^n=0$

Dove dovresti usare il teorema dei Carabinieri (che dice tipo che se uno successione è minore o uguale ad una che tende ad un limite L e maggiore o uguale ad un'altra che tende sempre a L, allora anch'essa tende ad L). Puoi dire che la successione in questione è:
maggiore o uguale di $ (-\frac{2}{3})^n $ che tende a 0;
minore o uguale di 0 (come se fosse 0^n) che tende a 0;
Allora anch'essa tende a 0.
Dove la succesione a_i è maggiore o uguale alla successione b_i se $ a_n \geq b_n $ definitivamente, cioè da un certo punto in poi e ho sottointeso che il limite fosse a +oo.
Poi pure il fatto che fai il limite a tratti, dovresti farlo tutto insieme in realtà, però ok.

Qualcuno mi corregga se ho detto qualche castroneria (è facile che l'abbia fatto).

Giuseppe R ha scritto:la successione è monotòna crescente.

La successione di cui fai il limite è $\frac{F_{n+1}}{F_n}$, che proprio monotona non è...

fph ha scritto:

Giuseppe R ha scritto:la successione è monotòna crescente.

La successione di cui fai il limite è $\frac{F_{n+1}}{F_n}$, che proprio monotona non è...

Quindi la sua dimostrazione non è corretta? E la mia?

Come influisce il fatto di essere o non essere monotona sul limite?

La sua funziona se assumi, o dimostri in altro modo, l'esistenza del limite. La tua funziona, con un'appropriata definizione di $\approx$. Ti suggerirei di darla per buona e funzionante e rimandare eventuali dubbi a quando studierai per bene i limiti, quando riuscirai a formalizzare tutto senza problemi (non è particolarmente difficile sistemare tutto in modo rigoroso).

Drago96 ha scritto:Ora sto studiando da una dispensa e mi sono imbattuto nel metodo per trovare l'n-esimo termine di una successione a partire dalla definizione ricorsiva

E' da un po' di tempo che ne sto cercando una: potresti postare il link?

Boh, siccome nessuno risponde, ti dico io che forse drago alludeva a questa dispensa... cerca, mi pare che ci sia la dimostrazione. Oppure guardi il video del senior basic dell'anno passato, in cui viene spiegata (abbastanza) bene questa cosa...

Mist ha scritto:Boh, siccome nessuno risponde, ti dico io che forse drago alludeva a questa dispensa...

Sì, è quella

Scusa se non ho risposto prima, non avevo letto la tua richiesta...