Simbolo di Legendre

[matty96]

Non ho chiaro un fatto che forse è una cosa semplicissima....Perche' se $ \displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{1}{2}(p-1)} \pmod p $ dove $p$ è primo (e $-1$ è un residuo), significa che $p$ è della forma 4k+1 o 4k+3? E come faccio a capire di quale forma deve essere un numero primo p partendo da quella formula? (ad esempio $ \left(\frac{2}{p}\right)=1$ significa che $p=8k+1$ o $p=8k-1$, perchè?)

[NoAnni]

Non ho chiaro un fatto che forse è una cosa semplicissima....Perche' se $ \displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{1}{2}(p-1)} \pmod p $ dove $p$ è primo (e $-1$ è un residuo), significa che $p$ è della forma 4k+1 o 4k+3?

Beh, se ti riferisci al video del preimo N5 era stato detto che p era dispari.
Quindi dato che $ 4k $ e $ 4k+2 $ sono pari, deve essere necessariamente $ 4k+1 $ o $ 4k+3 $

[matty96]

Si, comunque non ho visto il preimo N5, ma il mio libro.Ma perchè $p\equiv 1,3 \pmod 4$ ? E perchè $(2\mid p)=1$ implica $p \equiv 1,-1 \pmod 8$.Infatti quando cita un teorema dice: il numero -1 è un residuo quadratico dei primi della forma 4k+1 o 4k-1(che chiaramente sono dispari) cioè $ \displaystyle \left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{\frac{1}{2}(p-1)} \pmod p $.Non riesco acapire quel 'cioè'