Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Valenash
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Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da Valenash »

Spero sia la sezione giusta per porre la mia domanda..
parlando di studio di funzioni, oggi mi è venuto un dubbio che mi era già passato per qualche istante per la mente tempo fa, ma a cui non avevo dato peso..
Se abbiamo una funzione in un dominio limitato sia a destra che a sinistra, ad esempio definita solo nel dominio ]0,4[, questa funzione può avere degli asintoti orizzontali?
Il mio ragionamento è questo.. se penso come al solito al modo di calcolare gli asintoti, (limite per x che va a + e - infinito), dico ovviamente di no, perchè andrei fuori dal dominio..però, essendo l'asintoto (senza volere essere troppo rigorosi) un valore a cui tende la funzione avvicinandosi sempre di più (ciò significa che per una qualsiasi distanza minima che scegliamo, esisterà sempre un tratto in cui la funzione è più vicina all'asintoto di tale distanza minima) [o almeno, questa è la mia idea/definizione che ho sempre tenuto a mente, nel caso fosse sbagliata vi ringrazio se me ne date un altra anche rigorosa] se prendo ad esempio nel dominio considerato la funzione f(x)=x, posso dire che questa funzione ha per asintoto la retta y=4 o no??
Dalla mia definizione, parrebbe di sì.. è giusto o no?? =)
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da SkZ »

la definizione di asintoto prevede il limite a infinito, ergo che il dominio sia super/infer-iormente illimitato ;)

il tuo si chiama estremante o maggiorante mi pare. non e' massimo perche' non appartiene all'immagine.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da fph »

Rischi di scatenare guerre di religione chiedendo se si chiama asintoto o no (specialmente tra i professori di liceo), ma concettualmente hai ragione a dire che sono praticamente la stessa cosa.
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da SkZ »

pero' l'asintoto orizzontale non e' per forza un valore a cui la funzione si avvicina senza mai raggiungere.
$$\frac{\sin (x)}{x}$$ ha asintoto orizzontale $y=0$ ma in ogni intervallo superioramente illimitato la funzione vale 0 in un insieme numerabile di punti

penso basti definire che $f : X\to Y$, continua con X intervallo aperto a destra, ha $y=c$ asintoto orizzontale se $\forall x\in X\qquad \exists \hat{x}>x: |f(x)-c|>|f(\hat{x})-c|$

edit: No. nemmeno la continuita' aiuta: $x\sin{(x)}$ risulterebbe avere asintoto orizzontale :?
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da julio14 »

Si tratta solo di definizioni... La cosa che mi pare più sensata è questa: se esistono $m$ e $q$ tali che $\lim_{x\to ?} f(x)-mx-q=0$, allora $y=mx+q$ è un asintoto della funzione. Definita così, andando ad infinito l'asintoto, se esiste, è unico, se invece lo fai in un intervallo aperto perdi l'unicità.
Kopernik
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da Kopernik »

fph ha scritto:Rischi di scatenare guerre di religione chiedendo se si chiama asintoto o no (specialmente tra i professori di liceo), ma concettualmente hai ragione a dire che sono praticamente la stessa cosa.
Non mi sembra necessario fare nessuna guerra. Il succo del problema invece è: diamo una definizione di asintoto orizzontale che abbia una certa utilità. Ce n'è una migliore di quella solitamente indicata sui libri? La caccia è aperta. Ogni proposta verrà attentamente vagliata su questo forum, e poi potrà essere introdotta nell'insegnamento al liceo.
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da Valenash »

Kopernik ha scritto:
fph ha scritto:Rischi di scatenare guerre di religione chiedendo se si chiama asintoto o no (specialmente tra i professori di liceo), ma concettualmente hai ragione a dire che sono praticamente la stessa cosa.
Non mi sembra necessario fare nessuna guerra. Il succo del problema invece è: diamo una definizione di asintoto orizzontale che abbia una certa utilità. Ce n'è una migliore di quella solitamente indicata sui libri? La caccia è aperta. Ogni proposta verrà attentamente vagliata su questo forum, e poi potrà essere introdotta nell'insegnamento al liceo.
Quoto pienamente =)
SkZ ha scritto:pero' l'asintoto orizzontale non e' per forza un valore a cui la funzione si avvicina senza mai raggiungere.
mai detto questo :P

grazie comunque a tutti per le risposte :)
ora aspetto di vedere che definizioni di asintoto verranno proposte qui, in modo da farmi completa chiarezza in testa ;)
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da SkZ »

Valenash ha scritto:[...]però, essendo l'asintoto (senza volere essere troppo rigorosi) un valore a cui tende la funzione avvicinandosi sempre di più (ciò significa che per una qualsiasi distanza minima che scegliamo, esisterà sempre un tratto in cui la funzione è più vicina all'asintoto di tale distanza minima) [o almeno, questa è la mia idea/definizione che ho sempre tenuto a mente, nel caso fosse sbagliata vi ringrazio se me ne date un altra anche rigorosa] se prendo ad esempio nel dominio considerato la funzione f(x)=x, posso dire che questa funzione ha per asintoto la retta y=4 o no??
Dalla mia definizione, parrebbe di sì.. è giusto o no?? =)
mi riferivo a questa parte: $\frac{\sin{(x)}}{x}$ ha infiniti punti dati i quali non esistono tratti in cui la funzione e' piu' vicina all'asintoto ;)
e la tua definizione si adatta per qualunque retta orizzontale che interseca la curva, ma la curva non sia definita nel punto d'intersezione
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da Valenash »

SkZ ha scritto:
Valenash ha scritto:[...]però, essendo l'asintoto (senza volere essere troppo rigorosi) un valore a cui tende la funzione avvicinandosi sempre di più (ciò significa che per una qualsiasi distanza minima che scegliamo, esisterà sempre un tratto in cui la funzione è più vicina all'asintoto di tale distanza minima) [o almeno, questa è la mia idea/definizione che ho sempre tenuto a mente, nel caso fosse sbagliata vi ringrazio se me ne date un altra anche rigorosa] se prendo ad esempio nel dominio considerato la funzione f(x)=x, posso dire che questa funzione ha per asintoto la retta y=4 o no??
Dalla mia definizione, parrebbe di sì.. è giusto o no?? =)
mi riferivo a questa parte: $\frac{\sin{(x)}}{x}$ ha infiniti punti dati i quali non esistono tratti in cui la funzione e' piu' vicina all'asintoto ;)
e la tua definizione si adatta per qualunque retta orizzontale che interseca la curva, ma la curva non sia definita nel punto d'intersezione
umh, magari mi son spiegato male.. ho parlato di distanza minima, non di punti a distanza minore ;)
a meno che non fissi una distanza nulla (e in tal caso la definizione non funziona neanche parlando di asintoti normali) anche in una funzione che interseca infinite volte l'asintoto, una volta fissata una distanza (sempre se non è nulla), esiste un tratto a distanza inferiore :P spero che ora sia più chiaro quel che intendevo
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da SkZ »

controesempio: $\textrm{sgn}(x)$ e $x=0$
messa cosi' la funzione segno avrebbe un asintoto verticale in x=0
(oltre al problema di unicita' ricordato da julio: hai che qualunque retta passante per (0,1) o (0,-1) e' asintoto alla funzione segno)

come dicevo in altro topic, in Matematica il problema e' definire bene. se non ci riesci allora non ha senso (vedi esponenziale da complessi a complessi).
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da Spammowarrior »

la definizione di asintoto con il limite all'infinito si può interpretare a parole come "la migliore approssimazione lineare all'infinito"
chiaramente se vogliamo estendere questa definizione per x reale, questo concetto rappresenta la tangente.

chiaramente penso che nella storia si sia fatto il contrario (cioè definire la tangente e poi l'asintoto come retta tangente all'infinito), però insomma
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da Valenash »

SkZ ha scritto:controesempio: $\textrm{sgn}(x)$ e $x=0$
messa cosi' la funzione segno avrebbe un asintoto verticale in x=0
(oltre al problema di unicita' ricordato da julio: hai che qualunque retta passante per (0,1) o (0,-1) e' asintoto alla funzione segno)

come dicevo in altro topic, in Matematica il problema e' definire bene. se non ci riesci allora non ha senso (vedi esponenziale da complessi a complessi).
:oops: :oops: colpito e affondato..
AAA cercasi una definizione di asintoto non fallace e rigorosa :P
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Re: Asintoti orizzontali su una funzione in dominio limitato

Messaggio da SkZ »

quella c'e' e richiede per quelli non verticali che il dominio sia sup/inf-eriormente illimitato ;)

non ti abbattere: una delle cose piu' "divertenti" delal matematica e' fare definizioni e cercare controesempi :P
e piu' utili anche, perche' devi aver capito bene la cosa per fare il contropelo
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