Somma delle cifre di un multiplo di 9

[Drago96]

Ho cercato su questo forum un topic così, ma visto che non l'ho trovato lo cero io, visto che sono interessato a questo...

Io ho cercato di dimostrare che la somma delle cifre di ognuno dei primi 10 multipli di 9 è 9 (perciò lavoro in $\mathbb{N}$ )
Non so se sia corretta, essendo agli inizi, perciò vi chiedo il vostro parere

Allora, innanzitutto pongo $ a \leq 10 $ e $ 9a = 10x + y $, con $x$ cifra delle decine e $y$ cifra delle unità.
Riscrivo l'equazione iniziale come $ 9a = 9x + x + y $, divido per 9 e ottengo $ \displaystyle{a = x + {x+y \over 9}} $.
Dato che lavoro nei naturali e $x,y$ sono delle cifre, $ x+y=9 \ o \ x+y=18 $.
L'unica coppia che soddisfa il secondo caso è $(9,9)$, che però, sostituendo nell'eqauzione iniziale, $ 9a = 99 $, il che va contro la mia ipotesi $a \leq 10$, infatti la soluzione di quell'equazione è $a=11$.
Perciò l'unica soluzione per $a \leq 10$ è $x+y=9$.

Quindi ho dimostrato la tesi. (E anche il fatto che la cifra delle decine è uguale ad $a-1$)
E' tutto giusto?

[max tre]

Io ho cercato di dimostrare che la somma delle cifre dei primi 10 multipli di 9 è 9

direi che non è vero...
non mi è chiaro cosa tu intenda in realtà dimostrare, cos'è a?
x e y sono le cifre di che cosa?

[paga92aren]

Lui intendeva dimostrare che per i primi dieci multipli di 9 la somma delle cifre di ogni multiplo è 9.
Se $m$ è un multiplo di 9 allora $a=\frac{m}{9}$ e $x,y$ sono rispettivamente le cifre delle decine e delle unità usate per scrivere il numero.

[max tre]

ok, pensavo intendesse che la somma delle cifre dei multipli di 9 (inteso come 9+(1+8)+(2+7)+...) fosse un MULTIPLO (e che quindi si fosse dimenticato una parola) di 9, che però ora è una banalità
e quindi non capivo a cosa si riferissero la a, la x e la y
sorry

[Drago96]

Lui intendeva dimostrare che per i primi dieci multipli di 9 la somma delle cifre di ogni multiplo è 9.
Se $m$ è un multiplo di 9 allora $a=\frac{m}{9}$ e $x,y$ sono rispettivamente le cifre delle decine e delle unità usate per scrivere il numero.

Esarto. Forse mi sono espresso male...
Comunque la dimostrazione è giusta?

[paga92aren]

Sì è corretta

[Drago96]

Benissimo...
Comunque mi sono accorto che da quella scomposizione di $10x+y$ posso dimostrare semplicemente il criterio di divisibilità.

Ovvero se ho un numero di $n+1$ cifre, lo posso scrivere come $a10^n + b10^{n-1}+...+k$; quest'espressione si può riscrivere come $a99...9 \ (n-1 \ volte) +a+...$ ; facendo MOD 9 ottengo che $a10^n + b10^{n-1}+...+k \equiv a+b+...+k \ (mod \ 9)$
Giusto?
Perciò se $a+b+...+k \equiv 0 \ (mod \ 9)$ , per la proprietà transitiva ho che anche $a10^n + b10^{n-1}+...+k \equiv 0 \ (mod \ 9)$ .
Allora affinchè un numero sia divisibile per 9, lo deve essere la somma delle sue cifre.

Dovrebbe essere così, no?

[SkZ]

sostituendo 9 con 10-1 hai qualcosa piu' generico che non dipende dalla base usata

e lo puoi considerare la reiterazione

[Drago96]

sostituendo 9 con 10-1 hai qualcosa piu' generico che non dipende dalla base usata

e lo puoi considerare la reiterazione

Non capisco bene cosa intendi...
Me lo protresti spiegare? (possibilmente usando parole comprensibili ad uno di 1ª che è solo da qualche mese che ha scoperto le Olimpiadi...)

[SkZ]

prendi un numero in notazione esadecimale e fai la somma delle cifre, reiterando
ottieni il "resto" per la divisione per F (ovvero 15 in notazione decimale), quindi indirettamente anche per 5 e 3
come noti usando $10-1$ al posto di 9 hai una dimostrazione che si basa solo sulla presenza delle cifre 1 e 0