integrale di linea

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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staffo
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integrale di linea

Messaggio da staffo »

Stavo cercando di capire cosa fosse e l'applicazione dell'integrale di linea.
Penso di averlo più o meno capito, però per non farmi idee sbagliate volevo chiedere conferma:

l'integrale di linea, (nella parte applicativa in fisica), lo si può utilizzare per calcolare (ad esempio) il lavoro per spostare una carica lungo una linea di forza di un campo elettrico, che associa vettori diversi in ogni suo punto? e quello di contorno, si può utilizzare, per esempio, per calcolare la circuitazione? cioè, sarebbe un integrale che si utilizza per forze (o qualsiasi altra cosa) variabili non solo in intensità ma anche in verso, lungo cammini curvilinei?

per la parte di calcolo, è ad un livello troppo elevato per applicarla o me la potete spiegare?
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fph
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Re: integrale di linea

Messaggio da fph »

staffo ha scritto:l'integrale di linea, (nella parte applicativa in fisica), lo si può utilizzare per calcolare (ad esempio) il lavoro per spostare una carica lungo una linea di forza di un campo elettrico, che associa vettori diversi in ogni suo punto? e quello di contorno, si può utilizzare, per esempio, per calcolare la circuitazione? cioè, sarebbe un integrale che si utilizza per forze (o qualsiasi altra cosa) variabili non solo in intensità ma anche in verso, lungo cammini curvilinei?
Sì. L'integrale di contorno è un integrale di linea fatto su una linea chiusa (punto iniziale e punto finale coincidono).
staffo ha scritto:per la parte di calcolo, è ad un livello troppo elevato per applicarla o me la potete spiegare?
Intendi calcolo nel senso di "vediamo quanto vale" o nel senso di "sinonimo di analisi"?
Per il vediamo quanto vale, ti basta la definizione $\int F ds = \int F(\gamma) |\gamma'(t)| dt$ che lo riduce a un integrale convenzionale.
Per una trattazione teorica, non è particolarmente difficile partire da una definizione tipo integrale di Riemann (somma di integrali su tante "spezzate" fatte con punti sulla curva...) e arrivare alla formula qui sopra, con un po' di ipotesi buone sulla curva (almeno $C^1$) e sulla funzione. Una dimostrazione c'è su Wikipedia inglese per esempio. Questo dovrebbe bastare per l'uso di base in fisica (libri di liceo, Halliday).
Se vuoi cose più sofisticate (versione complessa, k-forme, percorsi solo continui, funzioni non Riemann-integrabili, calcolo con l'analisi complessa, forme differenziali chiuse ed esatte...), allora ti consiglio di aspettare un buon corso di analisi II.
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staffo
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Re: integrale di linea

Messaggio da staffo »

perdonami, ma non riesco proprio a capire la parte applicativa... oltretutto con l'inglese ho poca dimestichezza...

volevo chiederti se potevi farmi un esempio su questo problema che ho pensato al momento (e devi dirmi se è giousto anche vederlo con l'integrale di linea):
allora, io pensavo, piazzo su un sistema di assi cartesiano una carica positiva nel punto (0,0) e una negativa nel punto (1,0), e voglio calcolare il lavoro per spostare una carica negativa da (0,0) a (1,0) lungo la semicirconferenza di cui quei due punti soon diametro.

volevo vedere come si impostano le forze in funzione delle coordinate spaziali e come si applica l'integrale poi... devo forse scomporre le foprze lungo x e y, applicare due integrali separati e poi vedere la forza totale?
non so, mi faresti un grossissimo favore se proprio spiegando basilarmente riuscissi a risolvere questo problema con l'integrale di linea (sempre che sia ammissibile) se no farmi un altro esempio tu...
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Re: integrale di linea

Messaggio da fph »

Innanzitutto ti cambio le coordinate in modo che le due cariche siano in (1,0) e (-1,0), così la parametrizzazione si fa meglio e c'è una complicazione in meno. :)
Diciamo che in $\vec{x}_1=(-1,0)$ c'è una carica $q_1$ e in $\vec{x}_2=(1,0)$ c'è $q_2$ (non serve specificare i segni, fa solo casino), e la carica che tu muovi è $q$.
La forza che agisce sulla carica test quando sta in un punto $\vec{x}$ è
$\vec{F}=-\frac{q_1q}{|\vec{x}_1-\vec{x}|^3} (\vec{x}_1-\vec{x})-\frac{q_2q}{|\vec{x}_2-\vec{x}|^3} (\vec{x}_2-\vec{x}).$
Nota che il cubo al denominatore compare perché così invece di mettere un versore a numeratore metti un vettore "vero"; se sei abituato a vedere le forze con un $r^2$ a denominatore questo è semplicemente un modo alternativo di scriverlo come $r/r^3$.
La curva lungo cui ti sposti è parametrizzata da $\vec{x}(t)=(\cos t, \sin t)$ con $t$ che va da $0$ a $\pi$. La derivata della parametrizzazione è $\dot{\vec{x}}(t)=(-\sin t, \cos t)$. Sbatti tutto nella formula, e ti viene
\[\int \vec{F} \cdot d\vec{s}= \int_0^\pi \left(-\frac{q_1q}{\left\vert\begin{bmatrix}1-\cos(t)\\-\sin(t)\end{bmatrix}\right\vert^3} \begin{bmatrix}1-\cos(t)\\-\sin(t)\end{bmatrix}+\text{(altro pezzo quasi uguale)}\right) \cdot \begin{bmatrix}-\sin t\\ \cos t\end{bmatrix} dt,\]
che è uno scalare (quel $\cdot$ è un prodotto scalare). Sembra uno di quegli integrali trigonometrici impossibili che non riusciranno mai, eppure in qualche modo si fa perché se fai lo stesso conto con i potenziali viene una formula facile. In particolare, se sai già dai potenziali che formula deve venire per la primitiva puoi "barare" e dire che derivando quella ti viene proprio la funzione integranda. Nota anche che:
1) visto che il lavoro è conservativo, ti converrebbe spostare la carica lungo linea retta invece che una semicirconferenza, così hai solo un integrale 1D di una funzione un po' più facile da fare.
2) il tuo integrale diverge, perché il punto di partenza e di arrivo coincidono con la posizione delle cariche, e ti serve "energia infinita" per arrivare a far coincidere due cariche. Se vuoi un esempio fisico più vero, cambia l'intervallo $[0,\pi]$ in qualcos'altro e tutte le formule sono le stesse a parte gli estremi d'integrazione.
--federico
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