Teorema analisi (congettura)

[amatrix92]

Sia $ f(x) $ una funzione reale continua e derivabile in $ [a;b] $. Valga $ f(a) =f(b) $

Allora $ \displaystyle \sum_{i \to a}^b f'(x_i) =0 $

E' vero? Se sì, esiste di già e come si potrebbe dimostrare?

[ndp15]

Cosa vuol dire quella notazione?

[amatrix92]

immaginavo che sarebbe stata poco chiara ma non sapevo come scriverlo. A parole: la sommatoria delle derivate calcolate in tutti i valori reali (ovviamente infiniti) appartenenti all'intervallo.

[Il_Russo]

Le sommatorie fatte su insiemi infiniti sono delle brutte bestie; per come sono definite di solito direi che quella somma, in generale, non ha senso, e quindi la tua affermazione è falsa. La definizione solita si basa sull'ordinamento per inclusione dei sottoinsiemi finiti dell'insieme finito, su questo ordinamento è poi possibile definire il limite di una funzione $g$ definita sui sottoinsiemi finiti a valori, ad esempio, in $\mathbb{R}$, dicendo che il limite è $L$ se $\forall \varepsilon > 0 \quad \exists F \in \{sottoinsiemi \quad finiti\} | g(H) - L < \varepsilon \quad \forall F \subset H$. Ora, se la derivata fosse diversa da 0 in qualche punto, possiamo supporre positiva senza perdita di generalità, allora esisterebbe $m>0$ tale che essa sarebbe compresa tra $\frac{m}{2}$ e $m$ in infiniti punti, e questo farebbe saltare qualsiasi limitazione superiore alle somme dei sottoinsiemi finiti; il limite non esisterebbe.

Si potrebbe dire che se $f \in \mathcal{C}^1([a,b])$, ossia derivabile con derivata continua, allora $\int_a^b f'(x) dx = 0$, ma questo è quasi banale (EDIT: una volta che uno sa il teorema fondamentale dell'analisi).

EDIT: corretto typo. ma_go

[ma_go]

non me la sentirei di definire "banale" il teorema fondamentale del calcolo (che per inciso avevi sbagliato a scrivere).
comunque, l'enunciato in generale è una cosa tipo: prendi $f$ continua*, $F$ primitiva di $f$ (cioè $F'=f$). allora $F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx$.
per la definizione di integrale, o vai a spiare cosa dice il tuo libro, o aspetti uno-due mesi e lo vedrai in classe.

* sono abbastanza sicuro che basti di meno, non ricordo quali siano le ipotesi "ottimali", però.

[amatrix92]

Sì bhe che l'integrale scritto in quel modo fosse "banale" ci ero arrivato (in classe abbiamo quasi finito l'analisi), ma da quello che ho scritto io, all'integrale non manca un dx? Il_Russo perchè dici che quello che ho scritto non ha senso "per come sono definite" ? dire $ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \cdot \sum_{i \to a}^b f'(x_i) \Delta x $ è uguale a dire: presi tutti i numeri reali che identifico con $ x_i $ di un intervallo $ [a;b] $, faccio $ \displaystyle \sum_{i \to a}^b \lim_{h \to 0} \frac{f(x_i +h) -f(x_i)}{h} $? Se la risposta è sì, bhe allora è chiara la soluzione attravarso il teorema fondamentale dell'analisi, io ho postato credendo che fossero due cose differenti.

[Il_Russo]

In effetti mi sono spiegato male. Esplico un po' meglio com'è definita quella somma che tu vorresti fare. Io prendo i sottoinsiemi finiti $F$ dell'intervallo $[a,b]$ e faccio la somma di ognuno di questi sottoinsiemi finiti, che mi definisce una funzione $g(F) = \sum_{x \in F} f'(x)$. La sommatoria converge se $g$ ha limite, definito come nel mio precedente messaggio. Ma $g$ non può avere limite, a meno che $f$ non sia costante (in tal caso g vale sempre 0, come il suo limite), perché, e questo te lo lascio come esercizio, anche se l'idea l'ho già data prima, per ogni sottoinsieme finito di $[a,b]$ esistono sottoinsiemi finiti di $[a,b]$ che contengono il sottoinsieme dato e per cui $g$ è positiva ed arbitrariamente grande e altri per cui $g$ è negativa e arbitrariamente grande in valore assoluto.

Ad esempio, la somma di tutti i reali nell'intervallo $[-1, 1]$ non è zero, semplicemente non ha senso.

[ma_go]

no, quello che hai scritto ha meno senso di prima.
e adesso che so che sai cos'è un integrale, posso diventare cattivo

dire $ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \cdot \sum_{i \to a}^b f'(x_i) \Delta x $ è uguale a dire: presi tutti i numeri reali che identifico con $ x_i $ di un intervallo $ [a;b] $, faccio $ \displaystyle \sum_{i \to a}^b \lim_{h \to 0} \frac{f(x_i +h) -f(x_i)}{h} $?

prima hai un limite di una somma, passando al secondo termine ti perdi un limite (per $\Delta x\to 0$, qualunque cosa tu intenda). e poi, anche se tenessi il limite, non è ovvio che tu possa scambiare limiti e somme a tuo piacimento.
l'integrale media i valori di $f'$, non li somma, punto e stop.

tornando poi alla tua scrittura originale, Il_Russo ti ha spiegato esattamente perché non ha senso. espando (con legnate e sguardi cattivi).
sai bene che la somma di una serie $\sum_n a_n$ è definita, se esiste, come $\lim_{N\to\infty} \sum^N_{n=0} a_n$, se questo limite esiste. quindi ingenuamente pensi che se hai un insieme infinito, puoi definire la somma numerando questo insieme e prendendo il limite.
nulla di più falso: ci sono svariati controesempi, anche su insiemi numerabili, che questa cosa non è vera.

data $(a_n)$ successione tale che $\sum a_n$ sia convergente ma non assolutamente convergente, per ogni reale $r$ esiste una bigezione $\sigma$ di $\mathbb{N}$ tale che $\sum a_{\sigma(n)} = r$.

detto questo, usciamo dal reame degli interi, e prendiamo un insieme infinito $I$ e una "$I$-successione" $(a_i)$ di numeri reali (ovvero una funzione $I\to\mathbb{R}$). come si definisce la somma $\sum_I a_i$? intanto, per semplicità consideriamo solo le successioni di reali positivi, che sono già incasinate di loro.
a priori non c'è nessun ordinamento su $I$ (se ne può mettere uno, e anche uno molto buono, ma questo non è il punto), quindi non sappiamo da dove cominciare e non sappiamo verso dove andare.
l'unica definizione sensata è (probabilmente) la seguente:

la serie $\sum a_i$ si dice convergente ad $x\in \mathbb{R}$ se $$x=\sup\sum_{i\in J} a_i,$$ dove il sup è preso su tutti i sottoinsiemi finiti $J$ di $I$.

quello che Il_Russo ha dimostrato -in realtà ha dimostrato una cosa leggermente più debole, ma la dimostrazione si adatta facilmente- è:
lemma: se $\sum a_i$ converge, allora $a_i=0$ per tutti gli $i$ eccetto un insieme al più numerabile.
ergo, se hai una funzione continua (o anche molto meno) che non si annulla su in intervallo (o anche molto meno), nessuna delle somme che hai scritto ha senso.

[questo commento non sarà utile a nessuno, ma lo scrivo lo stesso] infine, provando a generalizzare la definizione (nel secondo quote), ci si imbatte in probabilmente abel (primo quote), e combinandoli si ottiene che, se si vogliono fare le cose in modo sensato, l'unica cosa da fare è richiedere che tutte le somme siano assolutamente convergenti, e -riordinando i termini- definire la somma della serie come differenza tra la parte positiva e la parte negativa.

[amatrix92]

Dopo aver riletto un paio di volte credo di avere afferrato i vari concetti. Sta di fatto che mi lascia un po' sconcertato che la somma dei termini dell'intervallo $ [-1;1] $ non sia 0

[EvaristeG]

amatrix, pensala così:

cosa vuol dire, ad esempio, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ ?
vuol dire (un po' operativamente) questo:
per ogni $N$ ho il numero
$$s_N=\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}$$
e ora guardo la successione $s_1,\ s_2,\ s_3,\ldots$; se esiste un numero $L$ tale che, per ogni $r$ reale positivo, possiamo trovare $k_0$ tale che $|s_k-L|<r$ per ogni $k\geq k_0$, allora diciamo che $s_N$ ha limite $L$ e dunque diciamo che
$$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n^2}=L$$

Ma ora ti faccio un esempio:
$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots$$
è la somma a segni alterni degli inversi degli interi e, per un teorema di Leibniz, converge. Chiama il limite $L$. Questo vuol dire che la successione
$$s_N=\sum_{n=1}^N(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$$
tende a $L$.
Ora considera invece la somma
$$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\ldots$$
e nota che possiamo scriverla come
$$\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{2k+1}-\frac1{2(2k+1)}-\frac1{4(k+1)}\right)$$
e dunque la sua somma sarà il limite di
$$\sigma_K=\sum_{k=0}^K\left(\frac{1}{2k+1}-\frac1{2(2k+1)}-\frac1{4(k+1)}\right)$$
Sarai d'accordo che gli addendi di una o dell'altra somma sono gli stessi, no? Anche con lo stesso segno.
Però:
$$\frac{1}{2k+1}-\frac1{2(2k+1)}=\frac{1}{2(2k+1)}$$
e dunque
$$\sigma_K=\sum_{k=0}^K\left(\frac{1}{2k+1}-\frac1{2(2k+1)}-\frac1{4(k+1)}\right)=\sum_{k=0}^K\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac1{2k+2}\right)=\frac{1}{2} s_{2N+2}$$
da ciò segue che il limite di $\sigma_K$ è $L/2$. Dunque
$$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\ldots=\frac12\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots\right)$$

Questo ti fa capire (forse) che è importante DIRE in che ordine sommo gli addendi. Altrimenti la somma può cambiare. Ora, in [-1,1] in che ordine sommi gli (infinitissimi) addendi? Quali sono le somme finite il cui limite chiami somma dei numeri tra -1 e 1? Perchè, parliamoci chiaro, le uniche somme che davvero sappiamo fare sono quelle finite.

[ma_go]

sarebbe opportuno dire che $L=\log 2$ nel caso della somma che hai scritto, EvaristeG: se $L$ fosse zero, non ci sarebbe nessuna contraddizione
(in realtà si dimostra facilmente che $L>1/2$, e questo è più che sufficiente)