cardinalità di R e C

[paga92aren]

Sappiamo tutti che gli insiemi R e C hanno la stessa cardinalità, ma io non ho mai visto una dimostrazione di questo fatto.
Qualcuno potrebbe postare il modo "classico" con cui si dimostra?
A me è venuta una idea (bizzarra) su come mettere in relazione i due insiemi: preso un numero reale $x$ creo due numeri reali $a,b$ (che mi permettono di formare un numero complesso) in modo tale che $a$ sia il numero $x$ senza le cifre di posto pari (rispetto alla virgola) e $b$ quelle di posto dispari. Mi sembra che funzioni vero?

[ma_go]

c'è qualche "dettaglio" da sistemare, nel senso che $x=1/11$ dà problemi (perché?).
però un'idea è quella, a cui va aggiunto un teorema "tecnico" di teoria degli insiemi:
teorema 1 (cantor-bernstein): siano $A,B$ due insiemi, $f:A\to B$, $g: B\to A$ due funzioni iniettive. allora esiste $h:A\to B$ biunivoca.
un'altra possibile strada è usare il fatto che $\mathbb{R}$ è in corrispondenza biunivoca con $2^\mathbb{N}$ (le funzioni da $\mathbb{N}$ nell'insieme $\{0,1\}$), e le coppie di reali possono essere messe in corrispondenza biunivoca con lo stesso insieme (come?).

volendo divagare e parlare di cose più tecniche (decisamente da MNE), dando per buono l'assioma della scelta, cantor-bernstein è equivalente a:
corollario 2: siano $A,B$ due insiemi, e $f:A\to B$ iniettiva, $g': A\to B$ suriettiva. allora esiste $h:A\to B$ biunivoca.
oppure, più in generale, è vero il seguente fatto (sempre assumendo l'assioma della scelta):
teorema 3: dato un insieme infinito $A$, $A$ è in corrispondenza biunivoca con $A\times A$, l'insieme delle coppie di elementi di $A$.
in realtà, il teorema 3 è equivalente all'assioma della scelta (nel senso che ZF+teorema 3 implica C).
tanto per aggiungere qualche fatterello interessante, dall'assioma della scelta segue anche:
teorema 4: dato un insieme infinito $A$, $A$ è in corrispondenza biunivoca con $2\times A$.
mentre il seguente teorema si dimostra senza l'assioma della scelta (!):
teorema 5: dato un insieme infinito $A$, $A$ è in corrispondenza biunivoca con $3\times A$.

EDIT: devo comprarmi un parser, dannazione.

[paga92aren]

Cercavo risposte e ho trovato domande...provo a rispondere:

c'è qualche "dettaglio" da sistemare, nel senso che $x=1/11$ dà problemi (perché?).

$x=0.09090909...$ quindi ottengo $a=0$ e $B=1$, ma anche il numero $10$ da lo stesso risultato quindi non è biunivoca.

però un'idea è quella, a cui va aggiunto un teorema "tecnico" di teoria degli insiemi:
teorema 1 (cantor-bernstein): siano $A,B$ due insiemi, $f:A\to B$, $g: B\to A$ due funzioni iniettive. allora esiste $h:A\to B$ biunivoca.

Vista la dimostrazione del teorema su wikipedia lo uso: gli insiemi sono R e C la funzione iniettiva da R a C è l'identità da C in R è la funzione da me pensata (devo specificare che il caso in cui $a$ o $b$ abbiano come periodo 9 li riscrivo come numeri non periodici e applico la funzione)

un'altra possibile strada è usare il fatto che $\mathbb{R}$ è in corrispondenza biunivoca con $2^\mathbb{N}$ (le funzioni da $\mathbb{N}$ nell'insieme $\{0,1\}$, e le coppie di reali possono essere messe in corrispondenza biunivoca con lo stesso insieme (come?).

Non ho capito cosa intendi con $2^N$

oppure, più in generale, è vero il seguente fatto (sempre assumendo l'assioma della scelta):
teorema 3: dato un insieme infinito $A$, $A$ è in corrispondenza biunivoca con $A\times A$, l'insieme delle coppie di elementi di $A$.
in realtà, il teorema 3 è equivalente all'assioma della scelta (nel senso che ZF+teorema 3 implica C).

ZF??? la dimostrazione del teorema 3 è semplice?

[ndp15]

ZF???

Zermelo-Fraenkel

[ma_go]

Non ho capito cosa intendi con $2^N$

$2^\mathbb{N}$ è l'insieme delle funzioni da $\mathbb{N}$ in $\{0,1\}$, o, se preferisci, l'insieme delle parti di $\mathbb{N}$ (perché?).
adesso dimostra che $\mathbb{R}$ è in corrispondenza con $2^\mathbb{N}$.
in realtà, (quasi) allo stesso modo si dimostra che è in corrispondenza con le funzioni da $\mathbb{N}$ in $\{0,1,\dots, n\}$ per ogni $n$, e anche con le funzioni $\mathbb{N}\to \mathbb{N}$.

la dimostrazione del teorema 3 è semplice?

no. la seconda parte del mio post è più che altro folklore, così come quanto segue (logicamente, tutto questo andrebbe prima del mio precedente post).
per inciso, come dice ndp15, ZF sta per "zermelo-fraenkel", e con ZF di solito si indicano gli assiomi della teoria degli insiemi "universalmente accettati" (quindi senza l'assioma di scelta, senza l'ipotesi del continuo, ecc.). l'assioma di scelta è indipendente dagli assiomi di ZF, e se lo si vuole includere nel sistema assiomatico allora si parla di ZFC ("zermelo-fraenkel with choice").

[fph]

Modalità superquark on: gli assiomi di Zermelo-Fraenkel sono gli assiomi "standard" utilizzati dai matematici per definire la teoria degli insiemi. Un po' come gli assiomi di Euclide per la geometria euclidea (solo che questi funzionano, a differenza di quelli di Euclide :p). Sulla teoria degli insiemi si basa poi tutta la matematica, quindi possono essere a buon diritto chiamati le fondamenta di tutta la matematica (comunemente accettate oggi). In aggiunta a quegli assiomi, per molte applicazioni serve un assioma aggiuntivo, che è indipendente dagli altri (un po' tipo il postulato delle parallele per la geometria); anch'esso è comunemente accettato ma c'è molta gente che si chiede come sarebbe la matematica se non fosse vero, costruisce modelli in cui non vale, e controlla in quali dimostrazioni serve e in quali no. "Zermelo-Fraenkel più assioma della scelta" si abbrevia comunemente con ZFC. ok, lo ammetto, ho scritto questo messaggio solo per poter linkare questa immagine senza sentirmi troppo in colpa.