Limite di serie geometrica

[paga92aren]

Calcolando l'area di un frattale mi sono ritrovato a calcolare una sommatoria infinita che, per fortuna, era una somma dei termini di una progressione geometrica.
$$A_n=A_1\left(1+\frac{3}{4}\sum_{k=1}^n \left(\frac{4}{9}\right)^k\right)=A_1\left(1+\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{4}{9}\right)^k\right)$$

Risolvendo con la formula $S_n=a_0\frac{k^{n+1}-1}{k-1}$ e sapendo che $\lim_{n\rightarrow +\infty}(\frac{4}{9})^n=0$ ottengo dalla prima $A=A_1(1+\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{5})=\frac{27}{20} A_1$ e dalla seconda $A=\frac{8}{5}A_1$.

Il primo risultato è opera mia, solo dopo ho visto quello di wikipedia (che è il secondo): il primo mi sembra più sensato perché i termini della successione sono scritti in funzione di n e non di n-1, ma il secondo è pubblicato da wikipedia quindi sarà giusto.

Qualcuno può chiarire il mio dubbio?

P.S. per info http://it.wikipedia.org/wiki/Curva_di_Von_Koch

[julio14]

$S_n=a_0\frac{k^{n+1}-1}{k-1}$

Applica bene questa formula: $a_0$ è il primo termine e nel primo caso è $\frac49$, quindi il risultato giusto sarebbe $A=A_1(1+\frac34\cdot\frac49\cdot\frac95)=\frac85A_1$ come nel secondo caso.